A. Privgsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals etc. 
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Die Punkte {x . y) kommen also wiederum auf jeder begrenzten 
Vertikalen oder Horizontalen nur in endlicher Anzahl 
(bezw. gar nicht) vor, während sie in jedem zweidimen- 
sionalen Gebiete wieder überall dicht liegen: letzteres 
kann in analoger Weise erkannt werden, wie in dem zuvor 
betrachteten Falle und folgt übrigens auch unmittelbar daraus, 
dass die dort für b = 2 resultirende Punktmenge lediglich eine 
Theilmenge der hier definirten bildet. — 
Bedeutet jetzt (x, y') irgend eine Punktmenge der eben 
charakterisirten Art und setzt man: 
( 21 ) 1 . .... = 
( im übrigen: f {x, y) = c, 
wo c, c zwei beliebige von einander verschiedene Constanten 
bedeuten, so erscheint offenbar die Existenz jedes Doppel- 
Integrals von der Form: 
/ j * f (^1 y) ’ dx - dy 
definitiv ausgeschlossen. Nichtsdestoweniger hat man: 
( 22 ) ^f{x,y)-dx = c-{X — x^, ^f{x,y)-dy = c-{Y—y^\ 
»• Ho 
gleichgültig, ob y bezw. x zu den Zahlen y bezw. x gehört 
oder nicht. Daraus folgt dann weiter: 
(23) ^dy^f{x, y) • dx=^dx^f(x, y).dy = c- (X— a:^) • ( Y—y^), 
y» Xo Xo yo 
q. e. d. 
Schliesslich bemerke ich noch folgendes. Ordnet man in 
dem zuerst betrachteten Falle jedem x' mit endlichem px- alle 
diejenigen y’ zu, welche durch die Bedingung bestimmt sind: 
Py'^Px'i so liegen auf jeder Vertikalen ebenfalls nur eine 
endliche Anzahl von Punkten {x\ y) (bezw. gar keine). 
Da aber andererseits zu jedem y alle diejenigen x' gehören, 
für welche Px'^Py-, so liegen die Punkte {x', y) auf jeder zu 
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