A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals etc. 
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bilde (ohne dass es also nothwendig wäre, über die Existenz 
von: 
• dx, r . ß,y irgendwelche Voraussetzungen zu 
machen). Die nämliche Behauptung ist vielleicht auch schon 
anderweitig ausgesprochen,^) aber, soviel ich weiss, niemals 
wirklich bewiesen worden. Und da andererseits ihre Richtig- 
keit keineswegs ohne weiteres einleuchtet und neuerdings auch 
wirklich angezweit'elt worden ist,'^) so dürfte ein solcher Nach- 
weis vielleicht nicht überflüssig erscheinen. Dabei genügt es 
offenbar in der Hauptsache, den folgenden Satz zu beweisen : 
Ist Q{x., y) eindeutig, endlich und stetig für das 
9 C) 
Rechteck yQ<iy für jede ein- 
zelne Stelle im Innern eindeutig definirt und nume- 
risch unter einer endlichen Grenze bleibend, so 
hat man: 
TS^ ■dx-dy = }{Q(X,f)~Q (X. ,,j))-dy, 
falls jenes Doppel-Integral exisürt. 
Beweis. Aus dem Satze des § 1 folgt, dass das Integral 
Intervalle (^g, Y) überall dichte 
Xq 
Menge von Werthen y existirt, so dass also: 
*) So könnte z. B. eine Stelle in Hei-rn Thomae’s „Abriss einer 
Theorie der complexen Functionen etc.“ (2. Aufl., Halle 1873), p. 31, 
Fussn. in diesem Sinne gedeutet werden. I)a aber doi't ausdrücklich 
verlangt wird, dass die betreffenden Functionen „die doppelte Inte- 
gration in eindeutigem Sinne zulassen sollen“, so kann hier- 
unter möglicher Weise auch die Existenz der betreffenden iterirten 
Integrale mit einbegriffen sein. 
Herr Osgood (New-York M. S. Bullet. (2), V (1898), p. 86) setzt 
p 3 ö p 3 P 
ausdrücklich noch die Existenz von | • dx, I — • du voraus, da er 
3x oy 
(wie ich einer brieflichen Mittheilung entnehme) diejenige des Doppel- 
Integrals allein nicht für ausi-eichend hält. 
