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Sitzung der math.-phgs. Classe vom 4. Februar 1899. 
Fall der Nicht-Existenz jener Integrale auch wirklich ein- 
treten kann : es giebt nämlich thatsächlich solche in einem Inter- 
valle < a; ^ X stetige Functionen /"(a;), welche durchweg ein 
eindeutiges und numerisch unter einer endlichen 
Schranke bleibendes, jedoch nicht in tegrables/‘(a;)besitzen, 
Xo ^ 
d. h. für welche das bestimmte Integral J* f (x) • (Ix{Xq < X) 
Xo 
nicht existirt. Die Mögflichkeit derartiger Functionen ist 
wohl zuerst von Dini nachdrücklich hervorgehoben und durch 
den Nachweis des Satzes gestützt worden, dass eine Function 
mit überall dichten Oscillationen wohl eine eindeutige und 
endlich bleibende, aber niemals eine integrable Derivirte 
besitzen könne. M Die wirkliche Existenz ist sodann von 
Volterra^) durch Aufstellung eines Beispiels direkt dargethan 
und späterhin auch speciell in der Richtung des angeführten 
Dini 'sehen Satzes durch Koepeke’s dilferenzirbare Function 
mit überall dichten Oscillationen®) bestätigt worden. 
Ist nun aber einmal die Existenz solcher f (x) definitiv 
festgesteUt, so liegt die Frage nahe: Was tritt in diesem Falle 
an die Stelle der Gleichung: 
(32) 
Xo 
welche ja nur für integrable f (x) einen Sinn hat? Auf 
diese Frage lässt sich mit Benützung des allemal existirenden 
oberen und unteren Integrals eine ganz präcise Antwort geben. 
Schaltet man zwischen a,, und X die Zwischenwerthe 
... a:„_i ein, so hat man identisch: 
(33) (x„ = X). 
Dini, Fondanienti § 200 (Dini-Lüroth, p. 383). 
2) Giorn. di Mat. T. 19 (1881), p. 335. 
3) Math. Ann. Bd. 29 (1887), p. 123; 34 (1880), p. 161; 35 (1890), 
p. 101. — Hamb. Mitth. Bd. II (1890), p. 128. 
