A. Pringaheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals etc. 
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Lst jetzt f {x) im Intervalle iCg < rc < X stetig mul zum 
mindesten für x^<C,x mit einer eindeutigen Derivirten 
begabt, so gestatten die betreffenden Differenzen-Quotienten 
die Anwendung des (Rolle’ sehen) Mittelwerthsatzes, d. h. es 
ergiebt sich: 
(34) f{X) f{X^ = fl {^y) • {Xy — Xy-l), WO t < X,. . 
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Unter der weiteren Annahme, dass f'{x) im Intervalle 
{x^, X) numerisch unter einer endlichen Grenze bleibt, besitzt 
f (a:) in jedem Theil-Intervalle Xy_\ ^x Xy eine bestimmte 
obere und untere Grenze Crl bezw. gl. Alsdann folgt aber 
aus Gl. (34): 
(35) gl ■ {Xy — Xy_{) < /"(X) — f{x^ < Gl • {Xy — Ä,v-i), 
1 1 
und somit ergiebt sich für lim {Xy — Xy-\) = 0 , lim n — cc 
die Ungleichung: 
(36) //•' ix)-dx^ f{X) -fix„) < J /•' (x) ■ dx, 
Xq ^0 
welche in der That die Gleichung (32) als speciellen Fall 
enthält und ohne weiteres in dieselbe übergeht, wenn f (x) 
integrabel ist. 
Mit Hülfe dieser Relation lässt sich der am Anfänge des 
vorigen Paragraphen bewiesene Haupttheil des Green 'sehen 
Satzes unter den dort geltenden Voraussetzungen ableiten, ohne 
dass man nöthig hätte, auf den an jener Stelle benützten 
allgemeinen Integralsatz (p. 54 Fussn. 1) zu recurriren. Man 
hat nämlich nach (36): 
(37) (X, i/) - y i/) g j|| • dx 
Xo 
und daher auch: 
