H. Seeliger: Vertheilung der nach einer Ausgleichung etc. 19 
Auch bei der vorliegenden Aufgabe wird es von wesent- 
lichem Interesse sein, den Verlauf von cpi.x.n) = für 
II {n) 
sehr gi'osse n kennen zu lernen und insbesondere für solche 
Wertbe von x, welche in der Nähe von x = 
liegen , 
da 
hier cp (x, n), wie man leicht sieht, einen Maximalwerth er- 
reicht, von welchem ab es nach beiden Seiten zuerst langsamer, 
dann schneller abnimmt. Dies ist mit der Form (5) nicht gut 
zu erreichen, während eine andere Darstellung leicht zum Ziele 
führt. Au-sdrücke von der Form (5) treten schon in den Wahr- 
scheinlichkeitsbetrachtungen von Moivre auf. Laplace hat diese 
in der „theorie analytique“ weiter behandelt und ist auf eine 
Integraldarstellung gekommen, die hier direct zu benutzen i.st. 
Die Methoden von Laplace la.ssen indessen an Strenge, wie 
bekannt, viel zu wünschen übrig. Seine Resultate aber wur- 
den in einwurfsfreier Weise durch Cauchy^) neu abgeleitet. 
Danach ist: 
<P w) 
/■(^, w) 
rf(n) 
2 
71 
COS (2 ,■* j- 1 — 
n)z dz. 
Die Vei'ification dieser Formel ist leicht. Durch theil- 
weise Integration findet man sofort: 
CO 
y tp {x, n) = —jz dz |(w + 1) 
/ sin z'' 
n 
rcos.e? 
sin z 1 
/ 1 
L 
1 
cos(2j; 1 — n)z — 
sin z 
z 
H + l 
' (2 a.’ -|- 1 — )i)sin(2ä'-t- l — 
Man kann dies auch schreiben: 
y 9? (a:, w) = (w + 1) 2 • <? ix, n) + 
— w)cos(2a: — n)z — (x j- 1 ) cos(2a:-[- 2 — n)z^ 
*) Memoire sur divei-ses formales relatives ä la theorie des inte- 
grales definies. .Journal de l’ecole polytechnique, cah. 28. 
