A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals etc. 
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Art, C seine vollständige Begrenzung bedeutet, der Cauchy’sclie 
Integralsatz in dem folgenden Umfange: 
Sind (a:, y), P (x, y) eindeutig definirt und stetig 
im Innern und auf der Begrenzung von T, — und 
® ® dx dy 
eindeutig definirt und numerisch unter einer end- 
lichen Grrenze bleibend im Innern von T, so bat man: 
J {P • dx + Q • dy) — 0, 
(C) 
d Q d P 
vrenn die Stellen (x, y), für welche — , — Sprünge 
^x dy 
> E erleiden^) oder Ungl. (40) besteht, bei beliebig 
kleinem e>0 eine zivddimensimal unausgedehnte Menge 
bilden.®) 
Hierzu ist nun aber noch folgendes zu bemerken. Die 
Existenz der Beziehung (39) hängt ausschliesslich davon ab, 
dass Ungl. (40) höchstens für eine zweidimensional unaus- 
gedehnte Menge besteht, keineswegs aber davon, dass 
9 0 dP 
— — irgendwelchen Stetigkeit s- Bedingungen unter- 
d X dy 
worfen werden. Diese sind lediglich erforderlich, um die ge- 
trennte Existenz der beiden Doppel- Integrale J*J ^■dT, 
(?) 
9 Es würde auch genügen, diese Stetigkeits-Bedingung für eine 
dO dP . 
der beiden Functionen — zu statuiren, da sie dann für die andere 
dx dg 
vermöge der zweiten Bedingung (nämlich: 
IQ_3P ^ 
dx dg 
mit Zulassung der näher bezeichneten Ausnahmen) von selbst er- 
füllt ist. 
Man kann sogar noch die Bedingung der Stetigkeit von P, Q, 
dO dP 
sowie der Endlichkeit von ^ mit Hülfe bekannter Ausschliessungs- 
Methoden in gewissem Umfange fallen lassen. 
