A. Pringsheim: Zur Iheorie des Doppel-Integrals etc. 61 
Ist f{s) = f{x + tji) = (p(x,y) i- 'ip(x,y) eindeutig 
definirt und stetig^) im Innern und auf der" Be- 
dw dcp 3 y> dy> 
grenzung von T: sind ausserdem ” - , — , — 
® ® dx dy dx dy 
eindeutig definirt und absolut genommen unter 
einer endlichen Grenze^) bleibend, so hat man: 
(43) = 
(C) 
wenn die Stellen für welche 
^ ^ ¥’\ Q .. 1-1 
, — 1 Sprunge erleiden 
/ 
gleichiingen besteht: 
P’ (oder auch:') 
dx 3y \ ^ 
oder eine der Un- 
(44) 
d y) \ 
dy 
>£, 
dtp , Sv' ' , 
dy dx , 
bei beliebig kleinem e > 0 eine ziveidimemional unaus- 
(jcdeJmte bilden. Daraus folgt dann nach be- 
kannten Methoden, dass f {s) im Innern von T eine 
analytische Function vorstellt. 
Insbesondere ergiebt sich also, dass unter den gemachten 
Voraussetzungen f (z) im Innern von T einen , vollständigen“, 
d. h. von der Art des Grenzüberganges (nicht nur von der Dif- 
fex-entiations -Richtung) unabhängigen Differential-Quotienten 
besitzt. Wird nun, wie gewöhnlich geschieht, diese letztere 
Forderung schon in der Voraussetzung aufgenommen, so ver- 
langt man damit von vornherein merklich mehr, als die Existenz 
jener partiellen Ableitungen und sogar die ausnahmslose 
Existenz der Beziehungen: 
(4.5) 
dcp d y) 
dx dx 
d ip 
dx 
= 0 
') Vergl. die beiden vorigen Fussnoten. 
