E. V. Weber: BUinearfonnen und Differentialsysteme. 
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§ 11. Zur Theorie der Schaaren von Bilinearformen. 
11. Es seien x.^x^. . x^, bezw. y^y^. . y,, zwei Variabein- 
gruppen, u und V willkürliche Parameter, endlich P,*, Q,k Con- 
stante. Dann wird das volle Invariantensystein, das die Schaar 
von Bilinearformen 
ni u m n 
W = XI' iJ" l/k + ^ Z!‘ L'* 2/* 
11 11 
gegenülier beliebigen linearen homogenen Transformationen der 
beiden Variabeingruppen x und y besitzt, nach Kronecker^) 
folgendermassen gebildet : 
Der Rang der Matrix 
wP,i 4- V , 
U 4- V , . 
• a Pi„ 4“ t) Qin 
(A) 
u Pjj 4~ ^ Q 21 ’ 
22 ^ ^ 1/22 • • 
• Fin 4" Q-2h 
^ ^m\ 4~ ^ 1 
U P ,„2 4" ^ Qm-2 ) • 
• Pmtt 4“ ^ Qiiin 
sei gleich t, d. h. es mögen in diesem Schema alle t 1-reihi- 
gen, nicht aber alle r-reihigen Determinanten für beliebige 
M, V verschwinden. Dann gibt es m—x Systeme von je m ganz- 
rationalen homogenen Funktionen der Variabein u v mit con- 
stanten Coefficienten : 
(6) U|5 Ct'Zs . - tlms iß — 1,2,.. t) 
derart, dass die Identitäten 
3 W , 
au 4- 
dW dW_ 
dx~^^ dx„, ^ 
0 
für jedes beliebige Wertsystem u, v, y^. . y,, befriedigt sind und 
dass in der Matrix, die aus den m — x Zeilen (6) besteht, nicht 
alle ni — r-reihigen Determinanten für beliebige u v ver- 
schwinden. Dann ist jedes andere Formensystem . . a^, das 
die Identität 
b Sitzungsber. der Berl. Ak. 1890, p. 1225. 
