E. V. Weber: Bilinearformen und Differentialsysteme. 249 
Ebenso erkennt man ohne weiteres, dass der Rang der zu J' 
gehörigen charakteristischen Matrix ebenfalls r ist. 
Das transformirte System J' ist also ein Involutions- 
system und hat überdies die Eigenschaft, dass die beiden 
Determinanten 
IP-'fcl (i,Ä:=l,2, ..t) 
vermöge J' nicht verschwinden. Wir dürfen daher, indem wir 
die Accente jetzt wieder weglassen, ohne Beschränkung der 
Allgemeinheit von vorneherein annehmen , dass die beiden 
Determinanten 
(24) :P„| ^Q,k\ (i, ä=1,2,..t) 
vei’inöge des gegebenen Differentialsystems J nicht Null sind. 
Dann verschwinden in der Matrix: 
(B) 
P„ P,, . . Pu Qn Qu • • Q'^r 
P m\ P m2 • * P mx ^ml Qm2 • • Q mx 
vermöge J nicht alle m-reihigen Determinanten. Um 
dies zu zeigen, bemerken wir vorab, dass: 
2 T ^ w ; ^) T < m. 
Ist T = m, so ist unsere Behauptung evident. Ist aber 
T < r», und nehmen wir an, dass in dem Schema D alle m- 
reihigen Determinanten vermöge J Null sind, so verschwinden 
in der Matrix P', die aus P durch Hinzufügung der Colonne 
P I, T+l 1 ■^2, T-j-1 • • P m, T-pI 
entsteht, alle diejenigen «i-reihigen Determinanten, welche die 
erste der Determinanten (24) als Unterdeterminante enthalten. 
In der That ist ja jede Determinante, die mehr als x Colonnen 
der Form P\s- ■ Pms enthält, vermöge J Null; der Rang von 
P' ist also vermöge J nach einem bekannten Determinantensatz 
9 Denn unter der Annahme r <[ 
m 
2 
verschwinden in der Matrix 7?i 
des vorigen § alle «i-reihigen Determinanten. 
1899. Sitzungsb. d. math.-pliys. CI. 
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