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Sitzung der math.-phys. Classe vom 8. Juli 1899. 
Beweis. Aus der Beziehung: 
(4) (V üv — Vryf = 2v + >V — 2 2,, )\ ^ 0 
folgt unmittelbar (der bekannte Satz, dass das geometrische 
Mittel niemals das arithmetische übersteigt): 
(ö) V (ly Vy ^ i (2v + U)- 
Da nun gleichzeitig mit den beiden Reihen ^ 2 ,., ^ r,, stets 
auch ^ Y (2>- + »v) convergirt, so ergiebt sich in diesem 
Falle, dass auch S1^2>-^v convergirt. 
Zugleich lehrt die Ungleichung (5), dass es zunächst nicht 
erlaubt ist, umgekehrt aus der Convergenz von S V r,. 
auf diejenige von ^2»') ^ 'V zu schliessen. Dass aber dieser 
Schluss nicht nur logisch unzulässig, sondern sachlich 
falsch wäre, erkennt man leicht aus den folgenden Beispielen. 
Es bezeichne zunächst <?,,, wo 0 dy G, das allgemeine 
Glied einer divergenten, Cy > 0 dasjenige einer conver- 
genten Reihe. Setzt man sodann: 
(6) 2»’ = ^v, n = Cy 
so wird : 
(7) Vqyry=Ydy-Cy<G-Cy, 
sodass Ty convergirt, obschon ^qy = ^dy divergirt. 
Bezeichnet ferner dy'> 0 das allgemeine Glied einer di- 
vergenten Reihe von der Beschaffenheit, dass ^ für ein 
hinlänglich grosses 2 ^ > 0 convergirt ^z. B. ~ ~„i 
0 < < 1, also: 1] (7‘+P =- XI convergent, wenn: 
2(1 +2^) > 1) d- h. wenn: 2>> 
[ = d. h. 
t8) ^ 
^ ^ ] ,• = f/i+pa-c-Dn d. h. 
\ V r ’ 
so setze man: 
(Gy = 22v+I 
>0 = d , >• , , 
2v y ’ 
V 
