A. Pringsheim: Ueber ein Convergenz-Kriterium etc. 
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Alsdann wird: 
( 9 ) VqiV, = dl*', 
also coiivergent, während die Reihen ^ 22 ,,+,, Sr.>,. 
und somit auch die beiden Reihen divergiren. 
3. Setzt man jetzt speciell r,, = ^Iv+i , so bleibt zunächst 
der erste Tbeil des vorigen Satzes unverändert bestehen, da 
die zum Beweise dienende Ungleichung (5) durch jene beson- 
dere Festsetzung nicht alterirt wird. Somit folgt: 
Ist die Reihe q,. convergent, so convergirt auch die 
Reihe 2 j : die Divergenz der R ei he XI 
bildet also eine hinreichende Bedingung für die- 
jenige der Reihe X 2... 
Dass aber auch hier diese Bedingung keine noth wendige 
ist, dass also divergiren kann, auch wenn X1^2,.2 h-i 
convergirt, zeigt eine einfache Modification des zuletzt an- 
gegebenen Beisj^iels. Man setze (wieder unter der Voraus- 
setzung, dass Yjd,. divergirt, X convergirt): 
{ q = (Z>+(p+p(i+(-i)’’j 
( 10 ) , 
( also: = q^^ = dl+^-P, 
und daher: 
y%.±i = y ^2v±i • 
Daraus folgt, dass X V q 2 y±i • qov = Xl^2,’ • qv+x wiederum 
convergirt, während «ilso auch X 2i. divergirt. 
4. Wie ein Blick auf das vorige Beispiel lehrt, rührt die 
Convergenz der Reihe X bei gleichzeitiger Diver- 
genz von X?.. wesentlich davon her, dass q>v convergirt, 
dagegen Xg 2 r+i divergirt. Daraus folgt, dass in dem vor- 
liegenden Falle die q^ sicherlich keine von irgend einem Index 
v^n ah monoton bleibende Folge bilden können. Es gilt 
aber auch umgekehrt, dass die Monotonie der Folge q,. (für 
1899. Sitzniigst). d. ni.itli.-pliys. CI. 18 
