A. Pringsheim: lieber ein Convergenz-Kriterium etc. 
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der Form 
(Iri 
vorgelegt ist, die Anwendung des Haupt- 
Kriteriums (Aj), d. li. die Untersuchung der Reihe ^ 
einfacher erscheint, als diejenige der Reihe Seine 
Bedeutung tritt erst hervor, wenn die speciell so be- 
schaffen sind, dass 5 ,. ^,.^1 merklich einfacher ausfällt als 
q,. selbst,^) und dies ist namentlich dann der Fall, wenn qy ~ r, 
und die durch Gl. (3) definirt sind. Man findet auf diese 
AV^eise : 
hy hy.^\ 1 • 1 T , 
bildet 
a,,+i 
"Cly 
hy 
(Cg) Die Divcryens der Reihe 
S]/' 
eine für die Convcrgens des Kettenbruches 
hin- 
reichende Bedingung, die aber im allgemeinen heinc 
nothiccndUje ist. Das letztere ist jedoch der Fall, 
wenn die mit »v bezeichneteu Ausdrücke (Gl. (3)) 
zum mindesten für r > w monoton bleiben.^) 
Da die Feststellung des monotonen Verhaltens der im all- 
gemeinen verhältn iss massig complicirt ausfällt, .so kommt 
das obige Kriterium wesentheh nur als hinreichende Beding- 
ung in Betracht und stellt in die.sem Sinne thatsächlich eine 
merkliche Verbesserung der ebenfalls nur hinreichenden 
Convergenz-Bedingung (Bg) dar: die letztere versagt, wenn 
convergirt. Man hat in diesem Falle (zum mindesten 
für 
n)\ 
hy hy 
+ 1 
< 1 , und daher: 1/ — 
y «..+1 
s]/' 
hyhy. 
+ I 
OyJ^X 
0.+1 
eventuell 
c+i ^ hy hy^\ 
sodass 
diverwiren kann und sodann auf 
Grund des Kriteriums (Cg) eine Entscheidung liefert. 
') Dieses Verhältniss ist ein ganz analoges, wie bei den Kriterien 
erster und zweiter Art für unendliche Reiben — vgl. meine Hemerk- 
ungen; Math. Ann. Bd. 35 (1890), p. 308— 311. 
b.. h.. 
Es genügt etwa nicht, dass die 
(s. das Beispiel in Nr. 3). 
^>■+1 
monoton ausfallen 
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