A. Pnngsheiin; Zur Theorie des Boppel-Integrals etc. 
269 
hei zu älinliclien Ivesultaten, wie sie in cleni Satze meines $5 1 
zusainmengcfasst sind. Iniinerliin dürfte gerade die A'^ergleich- 
nng beider Darstellungen die grössere Prägnanz und Ueber- 
siclitliclikeit der von mir geAvälilten Bezeicluiungsweise deut- 
lich liervortreten lassen. 
Sodann') giebt Hen- Arzelä eine hinreichende Bedingung 
für die Existenz der Beziehung: 
(A) ^ d%j ^f{Xyy)dx = ^ dx ^f{x,y)dy 
yo ^0 *0 2/0 
ohne vorausgesetzte Existenz des entsprechenden I) o p p e 1 - 
Integrals, die ich etwa in möglichster Kürze als „im allge- 
meinen gleichmässige, horizontale und vertikale In- 
tegrabilität von f {x, yY bezeichnen will. Im Anschlüsse 
hieran möchte ich zur Vervollständigung der auf p. 60 meines 
Aufsatzes gemachten Bemerkung, 
„dass die Existenz des betreffenden Doppel -Integrals zur 
Zeit als die weitaus allgemeinste Form einer hin- 
reichenden Bedingung für das Zustandekommen der Be- 
ziehung (A) gelten dürfe“ 
noch folgendes hinzufügen. Es wäre möglich, dass die Be- 
dingung des Herrn Arzelä für allgemeiner zu gelten hat, 
als die oben genannte. Hierzu müsste aber zuvor zweierlei 
bewiesen werden, nämlich: erstens, dass es wirklich Func- 
tionen f {x, y) giebt, für welche jene Bedingung erfüllt ist, 
während andererseits das entsprechende Doi)pel-IntegTal nicht 
existirt; zweitens, dass alle f {x, y), für welche das Doppel- 
Integral existirt, auch eo ipso der fraglichen Bedingung 
genügen. Aber selbst wenn dieser Beweis geführt werden 
kann, so wäre die auf diese AA^eise erzielte Verallgemeine- 
rung der Bedingungen für die Existenz der Beziehung (A) eine 
verhältnissmässig unerhebliche. Zu der ausserordent- 
lich weit reichenden, durch 2 ii'äcise Umgrenzung der eventuell 
zulässigen Unstetigkeiten kurz und scharf zu charakteri- 
') A. a. 0. Nr. 8. 
