424 Sitzung der math.-phys. Classe vom 2. Dezember 1890. 
Für einen besonderen Fall (avo die das Kreisbogen-Polygon 
begrenzenden Kreise sich nicht sclineiden, und die zugehörige 
Curve Geschlechts p -\- \ reelle Züge besitzt) hat Schottky 
schon analoge Untersuchungen angestellt, nachdem er den 
nöthigen Convergenzbeweis auf anderem Wege erbrachte; bei 
ihm bilden indessen nicht die Integrale zweiter Gattung den 
Ausgangspunkt, sondern er bildet direct unendliche Producte 
der Art, wie sie unten am Schlüsse von § 3 auftreten werden. 
Im Folgenden schliesse ich mich in der Darstellung und 
Bezeichnungsweise durchaus an die grossen Arbeiten Po in care ’s 
an.^) Die Entwicklungen sind zunächst dem Falle angepasst, 
wo ein Polygon mit , Hauptkreis“ gegeben ist, lassen sich aber 
(wie ja auch die Poincare’schen Untersuchungen) unmittelbar 
auf die übrigen Fälle übertragen. 
§ 1. Die Convergenz einer gewissen Reihe. 
Die Substitutionen der gegebenen Gruppe bezeichnen 
durch (.s'), so dass 
( 1 ) 
fi (^) = 
Ui Z -j- 
Ci z -b di 
wir 
wesetzt wird und i einen von 0 bis oo laufenden Index bezeichnet, 
durch den die Substitutionen numerirt werden; dabei sei 
/o (•^) — Kach Herrn Poincare kann man leicht Functionen 
bilden, die sich bei Substitutionen der Gruppe nur um einen 
Factor ändern, und zwar auf folgende Weise. Sei Hiß) eine 
rationale Function von so bilde man die Reihe 
(2) e(.e:) = £if(/.(*))iyi(^)]'". 
k 
Dieselbe ist, wenn m > 1, für alle Werthe von z absolut 
convergent, allein ausgenommen die Pole der Function Hiß) 
und die Pole der Functionen (^), welche mit denjenigen 
Punkten identisch sind, die bei den Transformationen (1) dem 
b Acta matliematica, Bei. 1 und 3. 
