F. Lindemann: Zur Theorie der automorphen Functionen. 425 
unendlich fernen Punkte zugeordnet werden; denn (da die 
Determinante a,- di — 5, c, immer gleich der Einheit angenommen 
wird) ist 
(3) 
1 
{Ci z -}- 
Die durch (2) definirte Function genügt der Bedingfunsr 
(4) 0 {fi (z)) ^e(z)- [fi (^)]-« = e (z ) . (c, ^ + d,r^ 
Bildet man den Quotienten zweier solcher Poin care 'sehen 
0-Functionen, bei denen nt denselben Werth hat. so erhält 
man eine automorphe Function, d. h. eine solche, die bei den 
Transformationen der Gruppe völlig ungeändert bleibt. 
Für uns kommt es darauf an, Reihen der Form (2) zu 
untersuchen, wenn die Zahl m den von Poin care ausgeschlos- 
senen Werth 1 besitzt. Zu dem Zwecke betrachten wir zu- 
nächst die Reihe 
( 5 ) 
s/’rw 
-2L 
(Ci Z -j- (Z,)^ 
und beweisen ihre absolute Convergenz. 
Durch logarithmische Differenzirung der Gleichung (4) 
erhalten wir 
( 6 ) 
- fi (^) = 
m 
1 
m 
Ve {zy‘ e {z)'y 
Die Untersuchung der Reihe (5) können wir daher auf die 
Untersuchung der beiden einzelnen Reihen 
U 
(7) 
^ m 0 (z)'' 
m 0 ( 2 ) ' ‘ 
zurückführen und haben dann den Vortheil, dass wir sowohl 
für die Zahl m, als für die Function 0 {z) noch besonders 
günstige Wahl treffen dürfen. 
