F. Lindemann; Zur Theorie der automoriiihen Functionen. 427 
(12) 0, (0 = (0 + f H{f, (0) \fu (C)]'' , 
k=j->r\ 
SO -wird 0, (0 für keinen noch so grossen Werth von i un- 
endlich gross und nach den Poincare’schen Sätzen nur an 
einer endlichen Anzahl von Stellen in jedem Bereiche gleich 
Null. Die Anzahl der Nullstellen wächst allerdings mit der 
Zahl m = i in’s Unendliche, bleibt aber stets eine discrete, so 
dass wir durch passende Wahl von C stets das Verschwinden von 
0(0 vermeiden können; für i = oc wh-d überdies 0,(O = ^f(O- 
Der absolute Betrag der Function bleibt daher stets 
0, (C) 
unterhalb einer endlichen Grenze M: 
(13) 
abs 
_1 
<M,. 
Ferner sind die Reihen (da i > 2) 
k=j+l 
\fj+^ (oJ 
1—1 
fk(0 und 
r f'kio ] 
L?i+i(0J 
'■+1 
convergent und bleiben stets endlich. Bezeichnen wir die 
oberen Grenzen ihrer absoluten Beträge mit P,' und Qi, so wird 
absF=abs2J7f|)/'K0 
< Mi 
Pi abs (/■•pi (0)'-' + 7 Qi abs (/-jp. (0) 
(r 
'+1 
abs fi (0- 
Da nun die Reihe Xj abs (0'"^^ ia Folge der Forde- 
I 
rung (9) sicher convergirt, so folgt, dass auch die Reihe V 
für ^ = C convergent, und zwar absolut convergent ist; 
ausgenommen sind dabei die Punkte C = 
für welche die 
Functionen f'i (0 unendlich gross werden. 
Was jetzt die Reihe U betrifft, so gilt für die in den 
Nennern auftretende Function wieder die Ungleichung (13). 
Auch der Zähler 0i (/,(O) bleibt nach (11) stets endlich; dies 
