F. Lindemann: Zur Theorie der automorphen Functionen. 441 
öj /Zg - öj Z*j -j- ctg Z 2 (®i “T ^2) ("^3 4) ’ 
Qj ZZj Oj ZZj = Oj Z*J -|- (Oj -|- Qj) 1 2 Og Z*3 (Oj Qg) Z*^ , 
a, ZT^— a^ZZj = Oj Z^j — (a^ + a J P 2 P (Oj — a J Z^g + «^ P 4 . 
Sei zur Abkürzung (a = a, ßk — o/j so gehen folglich 
die Gleichungen (40) über in 
— Oj Pj [(a ^),2 + (a ^),3] P ö, P 2 (a ^)32 + Z^g (a ^igg 
+ P 4 , [(« ßXs («1 + «2) — (« ^)i2 («2 — «1) — «1 (« ß)n\ = 0. 
Formen wir dies Resultat mit Hülfe von (39) und den 
analogen Gleichungen 
Pl (« i^)l2 + P 3 ß \2 4~ Pi ß)i 2 — 
Pl (“ ß)l3 + P 2 (“ ß)23 + Pi (“ /^)43 = 0 
um, so ergibt sich nach Weglassung des Factors P^ eine Be- 
ziehung zwischen den a, und ßi, nemhch 
«X [(«/?), 3— (« ^)l4— («^)l2— (« ^)24— (« A4] = «2 [(« ^)l2— («/^)l3]- 
Analoge Gleichungen wird man durch Vertauschung der 
Indices erhalten. 
Von anderem Gesichtspunkte aus lässt sich dies 
Beispiel in folgender Weise behandeln. Die beiden 
Relationen, welche sich für die Ui ergeben, sollen (falls man 
ZZj für ZZi schreibt) mittelst der Transformation (35) auf die 
ursprünglichen Gleichungen (37) und (39) zurückgeführt werden. 
Umgekehrt müssen so aus diesen Gleichungen diejenigen für 
die ZZj (oder Ui) gewonnen werden können; es ergibt sich 
Oj IJ[ — 1" (^2 ZZ 2 OSg ris P ^4 P^i 0 ) 
ZZi 4" ^2 ^3 ^3 4" ^4 P^i — 0 ) 
wo 
«1 = 
* 
— 
«2 
+ 
«3 
— 
®4 ) 
(42) 
«2 = 
«1 
+ 
* 
— 
«3 
+ 
«4> 
«3 = - 
-«1 
+ 
«2 
+ 
* 
— 
«4> 
^4 
«1 
— 
«2 
4- 
«3 
+ 
* X 
