F. Lindemann: Zur Theorie der automorphen Functionen. 447 
eine von t unabhängige Constante, falls t ausserhalb des 
Hauptkreises liegt. 
Gehören nun einem Cyclus v Ecken an, so können 
durch gewisse > 1 Transformationen diese Ecken mit einer 
von ihnen zur Deckung gebracht werden; dasselbe gilt für die 
zu diesen Ecken conjugirten Punkte A- ausserhalb des Haupt- 
kreises. Umgekehrt kann einer der letzteren Punkte, den wir jetzt 
C nennen, durch gewisse Transformationen successive mit den 
anderen Ecken zusammengebracht werden; die letzte Trans- 
formation fj(C) aber führt ihn an die alte Stelle zurück. Ist 
nur ein Cyclus vorhanden, so setzt sich diese letzte Substitution 
aus den früheren zusammen; sind aber mehrere Cyclen vor- 
handen, so ist dies nicht der Fall, und doch ist für diese 
Transformation /} (C) = s, also auch der entsj)rechende Periodi- 
citätsmodul 
s,y(fj(0)-s,A0, 
welcher eine lineare Function der ist, gleich Null. 
Bei einem Cyclus haben wür also n, bei zwei Cyclen n — 1 
= F, zu berücksichtigen ; bei g Cyclen bleiben 
n — p -p 1 Grössen P, zu untersuchen. 
Auf diese n — p -p 1 Grössen sind die Ueherlegungen von 
§ 4 anzuwenden. Die Zahl p der von einander unab- 
hängigen Integrale erster Gattung ist daher im All- 
gemeinen gleich 
w -p 1 — p 
Grössen 
Es ist dieses dieselbe Zahl, welche Poincare durch andere 
Betrachtungen (über den , Zusammenhang“ des Polygons) für 
das Geschlecht der zugehörigen Riemann’.schen Fläche ab- 
geleitet hat. Ist n eine ungerade Zahl, so muss hiernach g 
eine gerade Zahl sein. 
Wir haben noch die Periodicitäts-Moduln der In- 
tegrale erster Gattung zu untersuchen. Die Aenderung, 
welche Ui erleidet, wenn ^ durch fm (I) ersetzt wird, ist gleich 
