F. Lindemann: Zur Theorie der automorphen Functionen. 449 
die Anzahl der reellen Parameter, von welchen die gegebene 
Transformationsgruppe abhängt, und ebenso gross ist bekannt- 
lich die Anzahl der Moduln, von denen die zu einer Curve 
gehörigen Ab eP sehen Integrale abhängen. 
Die bekannten bilinearen Relationen für die Periodicitäts- 
moduln zweier Integrale erster Gattung werden durch Betrach- 
tung des Integrals J cD«,,, ebenso gewonnen, wie für zwei 
Integrale dritter Gattung mittelst des Integrals J Saß dSi,i in 
§ 4 geschah, und wie es Poincare an einem Beispiele ge- 
zeigt hatP) 
Die Anzahl der Relationen (48) ist gleich n {2 n — 1), 
da die Indices i, n alle von einander verschiedenen Werthe 
von 1 bis 2 n annehmen können. Es sind nur der 2 n In- 
tegrale Ui von einander unabhängig; indem man die übrigen 
Integrale durch die p ersten ausdrückt, erhält man aus (48) für 
lineare Relationen, welche die Periodicitätsmoduln dieser 
übrigen Integrale auf diejenigen der p ersten zurückführen. 
Für das auf p. 442 behandelte Beispiel findet man leicht, dass 
Pj und Pg Norraalintegrale sind, und zwar 
Pj mit den Periodicitätsmoduln rtjj,aj2,aj3=— «jg— aj,,aj^"a,2— «n, 
n n D ^ 21 )^ 22’^23 — ~^12 ^ 22 ’^ 24~®22 *^ 12 > 
WOZU noch je 2 ti i wegen des Logarithmus hinzutritt. Auch 
im Falle 1) p. 443 f. werden P, und Pg leicht als Normal- 
integrale erkannt, bez. mit den Periodicitätsmoduln 
öjj =- 6 (j 2, rtjg = und Cf.gj = öjg) 0^33 <^34- 
In analoger Weise bleiben überhaupt p"^ Periodicitätsmoduln 
(von Normalintegralen) übrig, zwischen denen noch ^ p{p — 1) 
Relationen der Form (48) bestehen. 
Die vorstehenden Betrachtungen müssen etwas modificirt 
werden, wenn die Begrenzung des ursprünglichen Kreisbogen- 
Polygons streckenweise von dem Hauptkreise selbst gebildet 
behandelten besonderen Fall; die dabei eingeführten Integralfunctionen 
erster Gattung haben von selbst die Eigenschaften der Normalintegrale. 
1) Vgl. Acta inathematica Bd. 1, p. 259 ff. 
