F. Lindemann; Zur Theorie der automorphen Functionen. 451 
benutzt, um welche sich die Polygon-Seiten unendlich ver- 
dichten , und die selbst in keinem Polygon liegen , wie es 
Schottky in dem von ihm behandelten Falle thut. 
§ 7. Die Fuchs’schen Zetafunctionen. 
Ist eine lineare Differentialgleichung Ordnung in der 
Form 
(49) 
i=0 
doc^'- ' 
gegeben, wo die Coefficienten q)i{x,y') rationale Functionen der 
Argumente x und y bezeichnen, und zwischen letzteren selbst 
eine algebraische Gleichung 
(50) f{x,y) = 0 
erfüllt ist, so kann man nach den Arbeiten von Klein, 
Poincare und Schottky diese Coefficienten cpii^iV) ein- 
deutige automorphe Functionen einer Variabein s darstellen, 
w 
welche gleich zu setzen ist, wenn und w.^ particuläre 
Integrale einer Differentialgleichung zweiter Ordnung von der 
Form 
(51) Y^^=^y,{x,y)^w 
sind, vorausgesetzt, dass die rationale Function y; (x, y) passend 
gewählt wird, nemlich so, dass x und y eindeutige automorphe 
Functionen von iv werden. 
Auch die Integrale der Gleichung (49) lassen sich dann 
als Functionen von s auffassen; und unter gewissen Voraus- 
setzungen über die singulären Stellen der Differentialgleichung 
(49) sind ihre Integrale durch Potenzreihen nach Potenzen von 
s darstellbar, welche alle im Einheitskreise convergiren, falls 
man es so eingerichtet hat, dass der Einheitskreis als Haupt- 
kreis für die durch (51) einzuführenden automorphen Functionen 
auftritt, wo dann nur Punkte s im Innern des Einheitskreises 
in Betracht kommen. 
1899. Sitznngsb. d. math.-phys. CI. 
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