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Sitzung der math.-phys. Ctasse vom 2. Dezember 1899. 
Wenn nun 0 eine lineare Transformation der zu (51) ge- 
hörigen Gruppe erleidet, d. h. 0 durch fi { 2 ) ersetzt wird, so 
erleiden die Integrale von (49), die wir Zi nennen, ebenfalls 
eine lineare isomorphe Substitution, indem 
(52) ii. (/;- {z)) = a« Z. (^) + a« Z, (z) + . . . + «« iT, (z), 
Je = 1, 2, . . . . fi; i = 1, 2, . . . w. 
Solche Functionen ^bezeichnet Poincare^) als „fonctions 
zetafuchsiennes“ und stellt sie durch Reihen $j dar, die in 
folgender Weise definirt sind: 
(53) (,iz) = £ (^f )" S' Ä, (/, (^)). 
Hierin bedeutet fi ( 2 ) eine lineare Substitution (wie oben 
in § 1 ff.); sind die bei Auflösung der Gleichungen (52) 
auftretenden Coefficienten ; und 
ff,(2), 11,(2).... H,(2) 
sind /t rationale Functionen von 2 \ der Index j kann die 
Werthe 1, 2, . . . . ju annehmen. Die ganze Zahl m muss so 
gewählt sein, dass die Reihe (53) convergirt. Die Convergenz 
wird durch Vergleichung mit der Reihe S (f i)"' beurtheilt. 
Bezeichnet 31 den grössten absoluten Betrag aller in der 
Substitutionsgruppe (52) vorkommenden Coefficienten so 
muss nach Po in care 
2 m — 4 > a log (31 ju) 
sein, wo a eine gewisse Constante bedeutet, ausserdem w > 1, 
damit die zum Vergleiche benutzte Reihe sicher convergirt. 
Da wir nun in § 1 die Convergenz der letzteren Reihe auch 
für m = 1 nachgewiesen haben, so kann die Bedingung (56) 
durch die günstigere 
2 m — 2 >> a log (31 ju) 
ersetzt werden, wobei ausserdem m ^ 1 sein muss. Insbesondere 
9 Memoire sur les fonctions zetafuchsiennes, Acta mathematica, 
Bd. 5, 1884. 
