F. Lindemann: Zur Theorie der automorphen Functionen. 453 
kann auch ni = \ sein, wenn J//i < 1 ist. Diese Voraus- 
setzung soll im Folgenden gemacht werden. 
Die Function genügt identisch der Bedingung 
(54) ^ . (/;. {z)) = (/;: (^))-» £ 0^ (^) . 
/r=l 
Die Anwendung der linearen Transformation f,- {z) auf die 
Variable z als Argument der Function bewirkt also, dass 
sich letztere linear durch die anderen Functionen (.$■), ver- 
sehen mit dem Factor ausdrückt. Es ist dies derselbe 
Factor, welcher zu der in (2) gegebenen Po incare 'sehen 
0-Function bei der gleichen Transformation hinzutritt, so dass 
die /«-Functionen 
(55) 
0 ’ 0 ’ 0 
ein System von Functionen Zic bilden, wie es den Gleichungen 
(52) genügt; und sie genügen einer Differentialgleichung von 
der Form (49). 
Im Folgenden soll nicht weiter auf den Zusammenhang 
mit den Differentialgleichungen eingegangen werden; es soll 
nur gezeigt werden, wie man eine besonders einfache Klasse 
von Functionen benutzen kann zur Bildung eines Systems von 
F u c h s’schen Zeta-F unctionen. 
Wir bilden die Reihe 
(56) 
i=l k=l 
^ — /;• (u) ’ 
dann ist nach der Umformung, welche zu Gleichung (19) 
führte : 
wo Qjr eine von z unabhängige Constante bedeutet, nemlich 
iJ 
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