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lieber das Verhalten von Potenzreihen auf dem 
Convergenzkreise. 
Von Alfred Pringslieim. 
[Eingelaufen 2. April.) 
Eine Potenzreihe "iß (x), die noch für die Stellen X = E- e^‘ 
des Convergenzkreises im allgemeinen convergirt, ist zwar 
unter gewissen Einschränkungen^) allemal eine Fourier’ sehe 
Reihe. Immerhin ist man bei der Beurtheilung der Conver- 
genz von 'ß (R e'’*) nicht ausschliesslich auf diejenigen Ergeb- 
nisse angewiesen, welche die allgemeine Theorie derFourier- 
schen Reihen liefert. Abgesehen von den elementaren Kri- 
terien für unbedingte oder bedingte Convergenz, kommt als ein 
der Potenz reihe als solcher eigenthümliches Hülfsmittel das 
Verhalten von lim “ß (a:) bei speciellem oder beliebigem Grenz- 
übergange lim a; = X in Betracht. In § 1 der folgenden Mit- 
theilung wird zunächst in ganz elementarer Weise untersucht, 
in wieweit aus der Existenz eines endlichen lim ß (^r) auf die 
x-X 
Convergenz von ß (X) geschlossen werden kann. Die 
Cauchy’sche bezw. Fourier’sche Integral -Darstellung der 
Reihen-Coefficienten führt sodann in § 2 zu einem Kriterium 
für die absolute Convergenz von ß (X). Daran schliessen sich 
(§ 3) Betrachtungen über Potenzreihen, welche auf dem Con- 
vergenzkreise ausnahmslos und doch nicht absolut con- 
vergiren. Schliesslich (§ 4) werden weitere Anhaltspunkte zur 
Beurtheilung von ß(X) aus dem Umstande gewonnen, dass ß(X) 
durch Trennung des Reellen und Imaginären in zwei von 
einander abhängige, in ihren Convergenz-Eigenschaften sich 
gegenseitig bedingende Fourier’sche Reihen zerfällt. 
b Vgl. Sitz.-Ber. Bd. 25 (1895), p. 337 ff. 
