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Sitzung der math.- 2 >hys. Classe vom 3. Februar 1900. 
§ 1. Der Abersche Grenzwerth-Satz und seine 
Umkehrungen. 
1. Es sei: 
CO 
(1) f (X) = üy X'’ (rt,. =ay-\- ßy l) 
1 
eine Potenzreihe mit endlichem Convergenz-Bereiche, d.h. einem 
mit einem gewissen Kadius ü um den Nullpunkt beschriebenen 
Kreise. Da man, sofern nicht schon JR = 1 ist, (x) mit Hülfe 
00 
der Substitution x = By m die Potenzreihe {y) = XI’’ (ayB‘')-y’' 
1 
mit dem Convergenz-Kadius y — 1 transformiren kann, so 
dürfen wir, ohne wesentliche Beschränkung der Allgemeinheit, 
im folgenden ein für allemal als Convergenz-Radius von (a;) 
den Werth \ x =1 annehmen. Ist dann X«.. convergent 
und bedeutet q eine reelle positive Zahl <1, so besagt der 
bekannte Abel’ sehe Grenzwerth-Satz, dass: 
(2) lim (p) = X>’ üy , 
e=i 1 
und daraus folgt unmittelbar, dass auch: 
(3) lim (p X) = X’’ (ly X'’ , 
- 1=1 1 
falls X eine beliebige Stelle auf dem Convergenzkreise bedeutet, 
00 
für welche X" «v X’’ convergirt. 
1 
Es liegt auf der Hand, dass dieser Satz nicht ohne 
weiteres umkehrbar ist. Denn für die Convergenz von 
00 
X’’ Oy x'‘ an irgend eine einzelne Stelle X der Peripherie ist 
nicht nur das Verhalten von (a;) in der Nähe dieser speciellen 
Stelle X, sondern dasjenige in der Nähe des gesammten Con- 
vergenzkreises maassgebend. So Avürde z. B. schon das Vor- 
handensein einer einzigen Stelle X', für welche lim '^^p X') 
