A. Fringsheim: üeher das Verhalten von Potenzreihen etc. 
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4. Sieht man von dem eben betrachteten Falle ab, so muss 
zu der Existenz eines endlichen lim X), falls man 
daraus auf die Convergenz von X; X*" scbliessen will, noch 
irgend eine andere Bedingung hinzukommen, welche in geeig- 
neter Weise von dem Gesammtverhalten des Grenzwerthes 
lim iß (a;) für alle möglichen X und jeden beliebigen 
x=X 
Grenzübergang abhängen muss. Als einfachste Form einer 
solchen Bedingung, die sich ja auch unmittelbar als noth- 
wendig für die Convergenz von S ct,, X’' erweist, würde sich 
zunächst die Prämisse lim = 0 ergeben. Dieselbe scheint 
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indessen nicht hinreichend zu sein, um daraus in Verbin- 
dung mit der Existenz eines endlichen lim ^ (g X) die Con- 
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vergenz von Xj a,. X’’ zu erschliessen. Dagegen hat Herr 
Tauber gezeigt,^) dass eine andere für die Convergenz von 
. . 1 ’A 
ttr nothwendige Bedingung, nämlich: lim — ij'' v üy = 0, 
»i = co ^ 1 
in Verbindung mit der hierzu gleichfalls nothwendigen 
Existenz eines endlichen lim ^ (o), stets auch die Conver- 
c=i 
genz von a,. zur Folge hat. Ich möchte dieses mir be- 
merkenswerth erscheinende Resultat hier gleichfalls ableiten 
und zunächst einige auch an sich nützliche Betrachtungen 
voranschicken, die ich gleich etwas allgemeiner fasse, als für 
den Zweck des fraglichen Beweises nothwendig wäre. 
5. Setzt man: 
(12) -j- Mg "H • • • “h , 1 • Mj -|- 2 • Mg . . . -j- w • M„ = s „ , 
so folgt der Satz, dass für die Existenz eines endlichen lim s„, 
« = 00 
also für die Convergenz von YjUvi die Beziehung: 
lim ^ = 0 
n=za: VI 
nothwendig erscheint aus einem etwas allgemeineren, zuerst 
*) Monatsh. f. Math, und Phys. Jahrg. 8 (Wien 1897), p. 273. 
