A. Prmgsheim: lieber das Verhalten von Potenzreihen etc. 47 
sobald der rechts stehende Grenz werth existirt. Somit ist die 
Beziehung (14) allemal erfüllt, wenn: 
(20) hm n • Un — 0 
M=00 
(aber nicht umgekehrt). Entsprechend ergiebt sich aus dem 
verallgemeinerten Cauchy’schen Satze (Gl. (15), dass die Re- 
lation (19) sicher besteht, wenn: 
( 21 ) 
1 • n 
«=GO 1 
6. Hülfs-Satz I. Convergirt ^ (x) — X/” 
1 
a:|<r^l, sogelten für |a;[<rdieTransformationen: 
(A) (X) = (1 X)-'^'’ Sy x” 
1 
00 
(B) "iß (o;) = S’' ^ s'y x" — x) • U’' ^ 7 ^ 7 ^ ’ 
wo: 
Sy — ax , s'y = X ■ ax . 
1 I 
Beweis. Die Formel (A) ist sehr bekannt, wird jedoch 
zumeist unter wesentlich engeren Voraussetzungen abgeleitet. 
Sie wird hauptsächlich, nach dem Vorgänge von Dirichlet,^) 
zum Beweise des Ahel’schen Grenzwerthsatzes (Gl. (1)) henützt, 
also unter der Voraussetzung, dass Xj «>■ convergirt, d. h. lim s„ 
« = co 
eine bestimmte Zahl vorstellt. Da in diesem Falle offenbar 
lim Sn a;" = 0, so resultirt die Formel (A) ohne weiteres aus der 
w=:co 
Abel’ sehen Transformations-Gleichung : 
n n — l 
(22) S’' civ x'^ = {\ — x) ■ S»' Sy X'’ + s,i x'*\ 
1 1 
wenn man n in’s Unendliche wachsen lässt. Wird aber die 
obige auf lim bezügliche Annahme nicht gemacht, so müsste. 
0 Journ. de Math. (2), T. 7 (1863), p. 253. — Ges. Werke, Bd. II, p. 305. 
