A. Pringsheiw : Ueber (Ins Verhalten von Potenzreihen etc. 
51 
(34) lim (1 — ^) • *53 (o X) = lim (X — q X) • X) = 0 . 
£>=1 ^*=1 
(b) Die Bedingung (33) ist offenbar für jedes X mit dem 
absoluten Betrage | X | = 1 erfüllt, wenn : 
(35) 
lim 
^1 I i ^''2 i • • • ~l~ I I _ Q 
n 
In diesem Falle gilt also auch die Relation (34) für 
jedes X. 
(c) Ist lim a„ = 0, so besteht (nach dem Cauchy’schen 
»J = CO 
Satze, Gl. (13)) allemal auch die Beziehung (35) und somit 
wiederum auch Gl. (34) für jedes X. 
8. Xunmehr beweise ich den oben erwähnten Satz des 
Herrn Tauber in der folgenden Fassung: 
O O 
Die nothwendige und hinreichende Bedingung 
CO 
für die Convergenz von Xj’’ «.■ besteht in den bei- 
1 
den Beziehungen: 
CO 
(I) = yl (d. h. gleich einer bestimmten Zahl) 
P=i , 
^ = 0 (wo: s,; = 1 • fl, + 2 • «2 -f . . . + w • a„). 
Beweis. Die Nothwendigkeit der Bedingung (I) folgt 
aus der Stetigkeit der Potenzreihe, diejenige der Bedingung 
(II) aus Gl. (14), p. 44. 
Um zu zeigen, dass diese Bedingungen auch hinreichen, 
ao 
transformire ich zunächst Xj” fli- mit Hülfe der Formel (B) 
1 
p. 47, also: 
Cly Q'’ =!;’■- . 
1 !>'•(’' 
Sy 
1) 
o’'+(l 
1 V -f- 1 
Lässt man p gegen 1 convergiren, so folgt mit Benützung 
der Voraussetzung (I) und des Hülfssatzes H (dessen Anwend- 
barkeit aus dem Zusatze c) und der Voraussetzung (H) folgt): 
4 * 
