A. Pringsheim: lieber das Verhalten von Potenzreihen etc. 53 
Da abei’: 
0<l-fl— -y<- (v = l,2, ...n) 
\njn 
so wird: 
1- _ 
I , V • (v + 1) 
(l — -) 1 
1 
V 
1 sl 
1 ” \s‘ 
X Oy 
< - Zj” “ 
V n/ } 
n 1 
r 4" 1 
Ul \ V 
und da mit Rücksicht auf die Voraussetzung (II) und den 
Cauchy’schen Satz (GL (13)): 
1 “ Is' I 
lim i-S*' ^ =0, 
« = CO ^ I 1^1 
so geht Gl. (40) schliesslich in die folgende über: 
(41) lim {Sn — Ä) = 0, 
n=oo 
d. h. man findet: 
(42) 
00 
Xj*” ctv 
1 
= Ä, 
womit der ausgesprochene Satz bewiesen ist. 
9. Substituirt man wiederum X” für a^, so nimmt der 
eben bewiesene Satz die folgende Form an: 
Die nothwendige und hinreichen de Bedingung 
GO 
für die Convergenz der Potenz reihe^(a;) = Xj’’ «v ic’’ 
1 
für irgend eine Stelle x = X, besteht in der 
Existenz eines endlichen lim “iß (^ X) und der Be- 
c=i 
Ziehung: 
(43) lim \^ {\ • X -\- 2 ' a^X^ n • ttn X”) = 0. 
«=oo n 
Ist insbesondere lim n • an = 0, also auch: lim w • j a„ | = 0, 
n=co n=oo 
so hat man (s. die Bemerkung am Schlüsse von Nr. 5, 
Gl. (20)) auch: 
(44) lim - (1 • 1 aj 1 + 2 • I « 2 1 . 4- w • I I ) = 0 , 
n— oo W 
