A. Pringslieim: lieber das Verhalten von Potemreihen etc. 55 
mag f (X) als undefinirt gelten. Die auf diese Weise für alle 
Stellen | a; | <C 1 mit Ausnahme etwaiger Stellen der letztge- 
nannten Art eindeutig definirte Function f {x) soll schlechthin 
die zur Reihe 'ip (a;) zugehörige Function und speciell f {X) 
die zugehörige Randfunction heissen. 
Es ist ohne weiteres klar, dass überall, wo (X) conver- 
girt, die Beziehung /‘(X) = ‘^^(X) besteht (nach dem Abel- 
schen Satze), und dass an allen Stellen X, über welche hinaus eine 
analytische Fortsetzung von ^ {x) existirt, f (X) mit dieser ana- 
lytischen Fortsetzung zusammenfällt. Ist ferner (.r) die Reihen- 
Entwickelung eines gegebenen arithmetischen Ausdruckes 
F ix), für welchen F (X) = lim F’ (p X), so hat man offen- 
Q = \ 
bar f(x) — F(x), f (X) = F (X). In diesem Falle lässt sich 
im allgemeinen das Verhalten der Randfunctioii f (X) aus der 
Xatur des arithmetischen Ausdruckes Fix) genau beurtheilen, 
und es handelt sich nun darum, aus diesem Verhalten bestimmte 
Schlüsse auf die Convergenz der Reihe XI «r X’’ zu ziehen. 
Hierzu ist vor allem erforderlich, dass die Reihe X X’’ mit 
der Fourier’schen Reihe für /"(X) sich identisch ei'weist, was 
bekanntlich keineswegs ohne weiteres der Fall zu sein braucht, 
auch wenn für f {X) wirklich eine convergente Fourier’sche 
Reihe existirt. 
Wie ich bei früherer Gelegenheit gezeigt habe,*) basirt 
aber das etwaige Zusammenfallen von X o.- X' mit der Fourier- 
schen Reihe für / (X) nicht allein auf der Beschaffenheit dieser 
Randfunction, d. h. auf dem Verhalten von lim /(p • e'’') als 
r>= ! 
Function der reellen Veränderlichen 0, vielmehr auf 
dem Verhalten von fix) in der Umgebung der Stellen X — 
wobei unter der , Umgebung“ einer solchen Stelle X immer 
nur derjenige Theil der Gesammt-Umgebung zu verstehen 
ist, welcher dem Inneren und der Peripherie des Einheits- 
kreises angehört. 
*) Sitz.-Ber. Bd. 25 (1895), p. 346 ff. 
