A. Prirtfjsheim; lieber das Verhalten von Potenzreihen etc. o9 
Stellen X'. In dieser Hinsicht sind folgende zwei Eventuali- 
täten vorhanden: 
(I) \ f {x) I bleibt in der Hingebung von X' durchweg 
unter einer endlichen Grenze. Wie ich in der oben 
citirten Abhandlung gezeigt habe,*) wird durch das Auftreten 
einer solchen Stelle die Möglichkeit, in Gl. (3) den Integrations- 
weg C„ durch C\ zu ersetzen in keiner Weise alterirt (gleich- 
gültig, ob f {X') selbst einen bestimmten Werth besitzt oder 
nicht). Das gleiche gilt dann auf Grund bekannter Methoden 
der Integral-Theorie auch dann noch, wenn Stellen X' der 
bezeichneten Art, eine un ausgedehnte Menge bilden. 
(II) \f{x) nimmt in der Umgebung von X' beliebig 
grosse Werthe an (wobei es wiederum gleichgültig ist, ob 
/’(X') einen endlichen oder unendlich grossen Werth besitzt 
oder überhaupt nicht definirt ist). Auch in diesem Falle bleibt 
Gl. (3) noch für den Integrationsweg gültig, wenn f {x) bis 
an die Stelle X' absolut integrabel ist, sobald der In- 
tegrationsweg dem Innern oder der Peripherie des Einheits- 
X' 
kreises angehört, d. h. wenn das Integral ^ f{x)\-dx für 
jeden solchen Weg gleichzeitig mit der Länge dieses Weges 
beliebig klein wird. Dieses zunächst für den Fall einer 
solchen Stelle geltende Resultat bleibt dann wiederum noch 
bestehen, wenn Stellen X' der bezeichneten Art eine reduc- 
tible Menge bilden.^) 
Wenn nun f{oX) im allgemeinen, d. h. höchstens mit 
den soeben sub (I) und (II) als zulässig statuirten Ausnahmen, 
für lim p = 1 gleichmässig gegen die endlichen Randwerthe 
f (X) convergirt, so wollen wir den hierdurch definirten Cha- 
rakter von fix) durch den Ausdruck bezeichnen: Es sei f {x) 
und f{x)\ in und auf dem Einheitskreise gleichmässig 
integrabel. In diesem Falle darf man dann die Gleichung (3) 
auch durch die folgende ersetzen: 
*) a. a. 0. p. 346. 
Vgl. Harnack, Math. Ami. Bd. 24 (1884), p. 224. 
