A. Pi ingsheim: Ueber das Verhalten von Potenzreihen etc. 63 
Ist Yj I <*>• convergent und bedeutet S 
irgend eine convergente Reihe mit positiven 
Termen, so convergirt auch die Reihe •\ay\A) 
Derselbe ist lediglich eine besondere Form des auf der 
bekannten Ungleichung: 
V IK • g. ^ 1 (2>.- + fh) (jpv > 0, q,. > 0) 
beruhenden, schon bei anderer Gelegenheit^) von mir benützten 
Satzes, dass aus der Convergenz der beiden Reihen 
stets diejenige von XI V Ih • qy resultirt. 
Aus dem obigen Hülfssatze folgt dann, dass unter den 
bezüglich der Beschaffenheit von f(x) gemachten Voraussetz- 
^ I I 
ungen jede Reihe von der Form X U,’ | a,, | , z. B. X 
— etc. convergiren muss. 
gv 
Angenommen nun, es gehöre zu der Potenzreihe: 
(12) (ic) = X*" v «,, • 
1 
eine Function /"j (x‘), welche, ebenso wie | /) (a:) | in und auf 
dem Einheitskreise gleichmässig integrabel ist, so ergiebt sich 
aus dem Satze der vorigen Nummer zunächst die Convergenz 
von ^>iid somit auf Grund des obigen Hülfssatzes 
diejenige jeder Reihe von der Form X G,, ^ • r • | «,, , 
s U • 
\gv 
Daraus folgt dann a fortiori, dass X ; f'f.- | convergirt und 
somit ^ tty X'’ auf dem ganzen Einheitskreise absolut con- 
vergent ist. 
Unriclitig wäre es, mit Harnack (Math. Ann. a. a. 0.) aus der 
Convergenz von Xl^>’i^ Verschwinden von lim v-\ar\‘^ 
V 'X) 
schliessen zu wollen (vgl. meine Bemerkungen Math. Ann. Bd. 35 (1890), 
p. 343 ff.). 
2) Sitz.-Ber. Bd. 29 (1899), p. 263. 
z. 
B. 
X ^ 
Uy 
