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Sitzung der math.-phys. Classe vom 3. Februar 1900. 
Die der Function auferlegten Bedingungen sind aber 
sicher erfüllt, wenn die zu “iß (x) = X «.■ x'’ gehörige Function 
f {x) eine Derivirte /' (a:) besitzt, welche in der Umgebung') 
der Peripherie-Stellen X im allgemeinen* *) stetig ist und 
deren tluadrat höchstens für eine reductible Menge von 
Stellen X' von der Ordnung 1 — e oder doch von einer „hin- 
länglich“*) niedrigeren, als der ersten 
(z. 
B. wie — 
X 
etc. bei a; = 0) 
unendlich wird. Denn für | a: j < 1 hat man ohne weiteres 
f \ (x) = f (ar) und sodann auf Grund der in Nr. 1 getroffenen 
Festsetzungen : f \ (X) = lim f {q X) = f (X). Man gewinnt auf 
Q=\ 
diese Weise den folgenden Satz: 
Besitzt die zur Potenzreihe ’^ttyX" gehörige 
Function fix) eine in der Umgebung der Conver- 
genzkreis-Stellen noch im allgemeinen stetige 
Derivirte, deren Quadrat höchstens für eine re- 
ductible Menge solcher Stellen von hinlänglich 
niedrigerer Ordnung als der ersten unendlich 
wird, so ist ^ a.”" noch auf dem Convergenz- 
k reise absolut convergent. 
6. Dieses Kriterium ist von erheblich grösserer Tragweite, 
als das bekannte, auf einer gelegentlichen Bemerkung des 
Herrn Lipschitz*) beruhende, welches die ausnahmslose 
Stetigkeit der ersten und ausserdem noch die eindeutige 
Existenz und Endlichkeit der zweiten Derivirten fordert. 
') Diese Bezeichnung ist wiederum nur in dem am Schlüsse von 
Nr. 1 definirten Umfange zu verstehen. 
*) D. h. mit eventueller Ausnahme einer unausgedehnten Menge, 
für welche f‘{X) endlich-unstetig wird, bezw. nicht existirt, aber 
in der Umgebung endlich bleibt. 
D. h. in der Weise, dass \f {x)\'^ integrabel bleibt. 
*) Lehrbuch der Analysis, Bd. 11, p. 492. Vgl. auch Math. Ann. 
Bd. 25 (1885), p. 425. 
