A. Pringsheim: lieber das Verhalten von Potenzreihen etc. 65 
Die Convergenz-Theorie der Fourier 'sehen Reihen würde 
auf Grund der über f {x) gemachten Voraussetzungen nur den 
Schluss gestatten,^) dass XI o,y x" auf dem Convergenzkreise noch 
ausnahmslos convergirt.*) Daraus folgt aber noch keines- 
wegs die absolute Convergenz dieser Reihe, wie im folgenden 
Paragraphen noch des näheren erörtert wird. 
Das nämliche Resultat würde sich auch aus dem Satze 
am Schlüsse von § 1 (p. 54) ergeben, wenn man berücksichtigt, 
dass aus der Integral-Darstellung der (Gl. (6)) durch par- 
tielle Integration (welche wegen der über f {x) gemachten 
Voraussetzungen gestattet ist) sich ergiebt: 
und daher: 
lim r • öv — 0 . — 
Einen Schluss auf die absolute Convergenz von 
gestattet dagegen ein von Heine^) mitgetheilter Satz über die 
Art des Verschwindens der Fourier’schen Reihen-Coefficienten 
bei unendlich wachsendem Index. Darnach würde aus der 
Voraussetzung, dass f (e'’*) nur von niedrigerer Ordnung als 
der -|-ten unendlich werden darf, folgen, dass lim • a^ — Q, 
woraus dann ohne weiteres die absolute Convergenz von 
X V’’ hervorgeht. Der betreffende Satz gilt indessen nur 
für den Fall, dass /' (e'’‘) der Dirichlet’schen Bedingung 
genügt. Zwar behauptet Heine ausdrücklich seine Gültig- 
S. z. B. Serret-Harnack a. a. 0., p. 353. Um das betreffende 
Resultat anzuwenden, hat man nur zu beachten, dass aus: 
/<■' (d) = i . e^i . f 
sich ergiebt: 
Dabei bliebe übrigens Schlussweise und Resultat noch gültig, 
wenn f(x) selbst (nicht erst i‘ [x)^) in der angegebenen Art unend- 
lich wird. 
Handbuch der Kugelfunctionen, Zweite Auflage, Bd. 1, p. 63. 
1900. Sitzungsb. d. m.ith.-phys. CI. 
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