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Sitzung der math.-pliys. Classe vom 3. Februar 1900. 
keit auch für den Fall, dass die Function an einzelnen Stellen, 
wo sie nicht unendlich wird, unendlich viele Maxiina und 
Minima besitzt. Sein Beweis aber, wenn ich ihn anders 
richtig verstehe, scheint mir diesen Fall nicht zu umfassen, 
und ich möchte sogar den Satz selbst alsdann für unrichtig 
halten. Gerade durch das Auftreten unendlich vieler Maxima 
und Minima wird die Begelmässigkeit in der Abnahme der 
Keihencoefficienten im allgemeinen zerstört, und es tritt eben 
an die Stelle der Beziehung lim r- • = 0 lediglich die 
Convergenz der Keihe • | a,. | (welche unmittelbar aus 
der Existenz jener Beziehung folgen würde, aber nicht um- 
gekehrt). 
Da alle Schwierigkeiten und Ausnahmefälle in der Theorie 
der Fourier 'sehen Reihen von dem eventuellen Vorkommen 
unendlich vieler Maxima und Minima herrühren, so scheint mir 
ein wesentlicher Vorzug des oben gegebenen Kriteriums gerade 
darin zu liegen, dass es in dieser Hinsicht nicht die geringste 
Einschränkung verlangt. 
7. Im übrigen sind die in jenem Satze, bezüglich der Exi- 
stenz und des Verhaltens von f {x) für die Stellen X, einge- 
führten Voraussetzungen sehr weit davon entfernt, für die 
absolute Convergenz von XI o.- noihwendige zu sein. Dies 
geht schon daraus hervor, dass dieselben ja nicht nur die ab- 
solute Convergenz von sondern sogar diejenige von 
X • «>■ X’’ nach sich ziehen. Man könnte darnach eine 
schärfere Form des fraglichen Kriteriums etwa dadurch erzielen, 
dass man statt der ersten Derivirten eine solche mit ächt 
gebrochenem Index in Betracht zieht: für seine prak- 
tische Anwendbarkeit würde indessen auf diese AVeise kaum 
etwas gewonnen werden. 
Andererseits lehrt ein Blick auf die bekannte Weier- 
strass'sche Function X • x^' (« < 1, h eine ungerade ganze 
') Riemann, Ges. Werke, XIX, 2J. 332. — Hadamard, Journ. de 
Math. 4ieme Serie, T. 8 (1892), p. 154. 
