A. Pringsheim: lieber das Verhalten von Potenzreihen etc. 
Zahl, dass es Potenzreihen gieht, -welche auf 
dem Convergenzkreise absolut convergiren, ohne für 
irgend eine Stelle desselben eine bestimmte Derivirte zu be- 
sitzen. Die Natur dieses Beispiels lässt zugleich deutlich 
erkennen, dass die Existenz eines im allgemeinen endlichen 
/' (X) durch die absolute Convergenz von V] X’’ in 
keiner Weise präjudicirt wird (ähnlich, wie etwa die 
Convergenz oder Divergenz von XI «>■ über die Existenz eines 
bestimmten lim — nicht das geringste aussagt). Bedeutet 
r=oo 
nämlich (v = 1, 2, 3, . . .) irgend eine Folge reeller oder 
complexer Zahlen von der Beschaffenheit, dass lim Uy — 0, 
v=co 
lim i I ’ =!, so besitzt nicht nur die Potenzreihe: ‘i)3(a;) XJ<'^■X’', 
r ~co 
sondern auch jede aus ihr h e r au sgeh o b e n e Potenzreihe: 
(j;) = X: den Convergenzradius 1. Die zu (a;) ge- 
hörige Function f {x) kann dann auf dem Convergenzkreise das 
denkbar einfachste Verhalten zeigen, nämlich für alle Stellen 
mit Ausnahme einer einzigen noch regulär sein, gleichgültig 
ob XU I ; convergirt oder divergirt. Andererseits lässt sich 
die Folge der natürlichen Zahlen viy allemal (auf unendlich 
viele Arten) so auswählen, dass Xj | ö:«,, | (also XJ «m,, X”'»- ab- 
solut) convergirt und zugleich der Convergenzkreis eine 
singuläre Linie für bildet: bei passender Annahme 
der a,. und m,. kann man insbesondere erzielen, dass die zu 
'1-^ (x) gehörige Function f (x) für unendlich viele, überall dicht 
liegende Stellen X kein endliches /' (a;) besitzt. Mit anderen 
Worten: Gerade derjenige Process, welcher hier die absolute 
Convergenz der Potenzreihe *^3 (a:) auf dem Convergenzkreise 
zur Folge hat, nämlich das Herausheben der Theilreihe 
^ (a:) aus der Reihe “j-^a;), zerstört in diesem Falle die Exi- 
stenz einer im allofemeinen endlichen und stetigen Derivirten. 
O O 
Beispiel: Man setze ciy = — , m,. = 2‘'. Die Reihe 
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