A. Pringsheim: lieber das Verhalten von Potenzreihen etc. 75 
und, wegen lim = 0 , lim | 1 — X” | ^ 2 : 
li = oo »j = 00 
(18) h a. X>'= h (a. - a,.+0 • (1 - X"). 
1 i — Al 
Da für (jedes X und r): i 1 — X** ; < 2, so convergirt die 
rechts stehende Beihe sicher, wenn ^ | a,, — a,.+i | convergent 
ist. Da je zwei auf einander folgende Terme a^, gleiches 
Vorzeichen haben, ausser wenn: 
r = (A+l)»-l=-;.(A+2), v + 1 =(2 + 1)^ (A = l,2,3,...), 
so findet man: 
1 
i 1 — 
wo der Accent an dem ersten Summenzeichen der rechten 
Seite andeuten soll, dass dieWerthe: >' = ^(A-|-2) (i = l,2,3, — ) 
auszuschliessen sind: an die Stelle der betreffenden Glieder 
treten die in der zweiten Summe vereinigten. Setzt man 
diese letztere in die Form: 
1 
_l 
7f/A(A+2} 
1_ 
A/(A4-i)a 
+ 2 — 
1 
und fügt die Glieder der ersten Summe noch zu denjenigen 
der Summe X/'i so wird: 
cc 
(19) Zj’' I «V 
1 
aZ 
JSL 
H-l 
-f- 2 
1 
1 
A/(A-f-l)a ’ 
sodass sich unmittelbar die Convergenz von ZI ! ßy — öSi+i 
ergiebt, wenn man noch beachtet, dass nach Gl. (15): 
■3/(A+1)2 = (il + 1) • ^>'hA+l)a 
und sodann, wegen «»(A-f-i)» > ^J»a+i : 
A/(A+I)2 ]>(/-)- 1) • l)iA+l > ^ • «»A, 
also Z <Z •>-- th li- convergent ist. 
A/(a+i)- 2 /l-niA ® 
