A. Pringsheim: üeber das Verhalten von Potenzreihen etc. 77 
Es giebt Potenzreihen (x) = Yj (^v mit dem 
Con vergenzradius 1, welche für | a; | = 1 noch 
ausnahmslos bedingt convergiren, während h = 2 
der Icleinste Exponent ist, für welchen S | |'‘ 
(also S a* X’’ absolut) convergirt. 
Die zur Reihe Yj cty x" gehörige Function f (x) besitzt hier 
für jede einzelne Stelle X der Peripherie einen bestimmten 
CO 
endlichen Werth (nämlich den Werth 2 j*' «v X’'). Da ferner 
j 
die aus Gl. (17) durch Substitution von x für X resultirende 
Beziehung: 
n ^ n — 1 
Yl'’ dy X'’ = Y'’ (a.. «v+l) (1 — X’ ) an X' :: 
1 i — Oj \ i 00 
erkennen lässt, dass die Reihe YdyX'’ gleichmässig conver- 
girt im Innern und auf der Begrenzung desjenigen Bereiches, 
welcher entsteht, wenn man aus der Fläche des Einheitskreises 
eine beliebig kleine Umgebung der Stelle 1 aus- 
scheidet, so folgt weiter, dass /'(a;) nicht nur längs der ge- 
summten Peripherie mit eventuellem Ausschlüsse der Stelle 1, 
sondern in der Umgehung jeder von 1 verschiedenen Stelle 
X vollkommen stetig ist. In der Nähe der Stelle x—\ 
kann dagegen YdyX'' (und speciell auch Y d,, X*’) un gleich- 
mässig convergiren (ich vermuthe, dass dies auch wirklich 
der Fall sein dürfte, obschon es mir andererseits bisher nicht 
gelungen ist, einen vollständigen Beweis dafür zu erbringen). 
In Folge dessen braucht auch \f(x)\, wiewohl für jede ein- 
zelne Stelle X (incl. X) einen bestimmten endlichen 
Werth besitzend, in der Umgebung der Stelle x—1 nicht 
unter einer festen Grenze zu bleiben. Für das etwaige An- 
wachsen von \f{x)\ in der Nähe der Stelle 1 lässt sich leicht 
eine obere Grenze angeben. Da nämlich: 
00 
■ s»- dy • (q xy 
I I 
< Y'’ \dy\- d. h. < Y^ —7 = X(£>), 
'1 1 V V • 
