A. Pringshcim: lieber das Verhalten von Potenzreihen etc. 81 
der Fourier ’ sollen Reihen liegende Fragestellung: Welche 
Stetigkeits-Eigenschaften von xp {&) sind erforderlich oder hin- 
reichend, damit die Reihe für cp {ß) bei einem bestimmten 
Werthe d überhaupt convergire? Die hierauf zu er- 
zielende Antwort gilt dann in Folge der zwischen cp{&) und 
■xp {d) bestehenden Reciprocität (s. Gl. (9) und (6)) mutatis 
mu tan dis auch bezüglich der Couvergenz der Reihe für xp 
2. Setzt man: 
n 
(10) ü*' (üy cos vD — ßy sin V ■&) = cp^ (&), 
I 
so handelt es sich also um die Untersuchung von lim (p„ (i9) 
«=co 
unter der Voraussetzung, dass für a,., ß,, der zweite der in 
Gl. (6) angegebenen Integral-Ausdrücke eingesetzt wird. Man 
erhält auf diese Weise zunächst: 
1 f ”, 
(11) (p„ (xJ) ==— 1/1 (»?) • ZI” sin V ()] — ■d)- dt), 
71 ^ 1 
— .T 
und da: 
Z” sin V l ~ 
cos \ X — cos {n -)- -|) X 
2 sin X 
= ( cot ^ — cos n X • cot ^ sin w X 
so wird: 
+-T 
(12) 2 71 • xpn (*9) = J* V' (»/) ■ ”2 ~ ^ — d))-dt)-\- A„, 
wo : 
Dass ihre Summe alsdann stets den Werth cp (d) hat, folgt wieder 
unmittelbar aus dem Abel’ sehen Satze (s. auch die vorige Fussnote). 
2) Eine ähnliche Untersuchung des Herrn Tauber (Monatsh. f. 
Math, und Phys. Jahrg. 2 (1891), p. 79—118) beruht theilweise auf an- 
deren Voraussetzungen und verfolgt im wesentlichen andere Ziele. 
1900. Sitzungsb. d. inath.-pliys. CI. ü 
