A. Pringsheini: lieber das Verhalten von Potenzreihen etc. 87 
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J ^inna ^ r 
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1 — cos n a 
n 
• d a 
0 0 
ist das erstere bei lim w = oo convergent, das zweite 
dagegen divergent. 
Nach alledem kommt die Convergenz des Ausdruckes (29) 
zu Stande, wenn sowohl rechts, als links von der be- 
trachteten Stelle §• gewisse Stetigkeits-Eigenschaften besitzt, 
während dieselbe durch das Vorhandensein eines Sprunges 
zwischen 99 0) und 99 (i? — 0) nicht alterirt wird. Da- 
gegen würde das Auftreten eines Sprunges zwischen 9; (ß -j- 0) 
und xp ß — 0) die Convergenz des Grenzwerthes (27) bezw. 
(A) definitiv ausschli essen, ^) während dieselbe allemal dann zu 
Stande kommt, wenn xp ß) zu beiden Seiten der Stelle d sich 
symmetrisch oder doch nahezu symmetrisch verhält, 
mögen dabei die Werthe von 9; ß + a) bei unbegrenzt ab- 
nehmendem a auch über alle Grenzen wachsen oder unendlich 
viele Oscillationen mit beliebig grosser Amplitude aufweisen. 
Eine hinreichende Bedingung für die Convergenz des 
Integrals (C) bildet offenbar diejenige des Integrals: 
e 
0 
also die absolute Integrabilität von — {99 ß -j- a) — xp ß — a)} 
in der Umgebung von a = 0. Dieselbe zieht dann, wegen 
: cos w a 1^1, sofort auch die Convergenz des Grenzwerthes (C) 
und somit schliesslich diejenige der Reihe für 99 ß), sowie die 
Gültigkeit der Beziehung (28) nach sich. Setzt man für den 
gerade betrachteten Werth 
xp ß -\- a) — xp ß — a) — A (a), 
(30) 
so mag ß) als das mittlere Stetigkeitsmaass von xp ß) 
9 Näheres s. Nr. 6 dieses Paragraphen. 
