A. Fringsheim: lieber das Verhalten von Fotenzreihen etc. 97 
einander verschieden sind; aber auch dann, ■wenn nur 
lim yj {ß -j- a)> lim y) (d — n) oder lim y> (ß a) <lim y>('ß — a).^) 
7^ «=o «=o 
Bezeichnet man jede derartige Unstetigkeit als einen Sprung 
schlechthin, so kann man also sagen, dass cp {ß) allemal 
eigentlich divergirt, ■wenn y> (ß) einen Sprung erleidet. 
Und da offenbar analog das Auftreten eines Sprunges bei 99 (t?) 
die eigentliche Divergenz der Reihe für xp (<9) nach sich 
zieht, so ergiebt sich der folgende Satz: 
Die Potenzreihe ‘iß (a:) mit absolut und beim 
Uebergange zur Convergenzkreis - Peripherie 
im allgemeinen gleichmässig integrabler Rand- 
function f ist eigentlich divergent an allen 
Spruugstellen von f 
Bezeichnet man andererseits als sprunglose Unstetig- 
keiten solche, bei denen 
lim ip ((? -j- a) <C lim y) {ß — - a), lim rp (ß a) '!> lim xp (ß — a) 
azzÖ" “=o a=d 
und xp (ß) in der Xähe der betreffenden Stelle alle zwischen 
jenen Limites enthaltenen Werthe durchläuft, (wie sin — bei 
XT 
X 
ß = 0), so zeigt das Beispiel der Potenzreihe für e^~^ 
(s. den Schluss von Xr. 4 dieses Paragraphen), dass deren Vor- 
kommen die Convergenz der Potenzreihe an der betreffenden 
Stelle nicht ausschliesst. 
Man gelangt also auf Grund dieser Betrachtungen zu dem 
folgenden, wie mir scheint, neuen und nicht unwichtigen End- 
Ergebnisse : 
Eine für irgend ein zusammen hängendes Bogen- 
stück ihres Convergenzkreises convergirende Po- 
tenzreihe unterscheidet sich, als eine aus zivei 
9 Beispiel: 
US ■ (‘+””'5^7) 
für I? = 1. 
1900. Sitzungsb. d. math.-phys. CI. 
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