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üeber den sogenannten zweiten Mittelwerthsatz für 
endliche Summen und Integrale. 
Von Alfred Pringsheim. 
(Eingelaufen 13. Juni.) 
Der sogenannte zweite Mittel werthsatz der Integral- 
Kechnuno- existirt in zwei verschiedenen Formen: 
O 
(I) J f(x) • (p (a;) • rfic = /■(«) jq}(x)-dx 
a a 
(II) J f{x) ■q{x)-dx=f (d) ■^(p{x)-dx 4- fQ >)^ (^) • dx 
a a i ' 
die erste im wesentlichen von 0. Bonnet/) die zweite von 
P. Du Bois-Reymond^) herrührend. Dabei wird f (x) in 
Dl. (I) für a<ix^b als positiv und niemals zunehmend, 
in (II) lediglich als monoton (niemals zu- oder niemals ab- 
nehmend) vorausgesetzt. Trotzdem nun der Satz (I) unter 
specielleren Voraussetzungen besteht, als der Satz (II), so 
ist er doch der allgemeinere von beiden. Denn während es, 
*) .Tournal de Math. T. 14 (1849), p. 249. — Memoires Acad. Belg. 
T. 23 (1850), p. 8. — B. giebt statt Gl. (I) die Ungleichungen: 
h 
a 
wO A, B das Minimum und Maximum von (.-r) • rZ a" für n < f 
a 
bedeuten. 
2) .Tonrn. f. Math. Bd. 69 (1868), p. 82. 
(a<|<&). 
