A. Fringsheim: lieber den sog. zweiten Mittelwerthsatz etc. 211 
reichen Darstellungen begegnet ist, die aber von Du Bois- 
Keymond zwar nicht bei jener oben erwähnten ersten Fornm- 
lirung oder einer späteren Vervollständigung des betreffenden 
Beweises,') sondern bei anderer Gelegenheit kurz angegeben 
worden ist. In einer Besprechung der Thomae’schen Schrift: 
„Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale“ (Halle, 
1875)") bemerkt er nämlich ausdrücklich, dass man in (II) statt 
f{a) bezw. f(b) auch jede Zahl <C.f(a-^0) bezw. 1> fQ) — 0) 
(seil., wenn f {x) als niemals abnehmend vorausgesetzt wird) 
substituiren kann, ohne dass t das Intervall a<i $ verlässt. 
Die dafür einzig gegebene Begründung: „das Integral links 
bleibt dabei unverändert“ — scheint mir freilich unzulänglich; 
denn das Integral links bleibt ja auch unverändert, wenn man 
f (a), f (b) durch irgendwelche ganz beliebige Zahlen ersetzt. 
Es wäre daher zur genaueren Prüfung jener Bemerkung eine 
nochmalige Revision des betreffenden Beweises erforderlich,") 
die dann in der That ihre Richtigkeit ergiebt. Man gewinnt 
auf diese Weise an Stelle des Satzes (II) den folgenden: 
(III) 
b 
J f (x) • (p{x) ' dx 
a 
^ h 
= ^ J (p{x)-dx -f- Sj (p(x)-dx 
a ^ 
f wo : A^f(a+0)<f(b-^0)^, 
|oder: A^/'(a-^0)^f(b — 0)>J>, 
welcher dann in der That nicht nur diesen letzteren, sondern 
auch den Satz (I) als speciellen Fall enthält.^) Hierbei 
') Journ. f. Math. Bd. 79 (1875), p. 42, Fussnote. 
") Zeitschr. f. Math. Bd. 20 (1875), Hist.-lit. Abth., p. 126. 
^) Man kann sich dabei mit Vortheil der gerade von Herrn Thoinae 
(a. a. 0. 2^- 18) benützten Methode bedienen, dass man setzt: 
6 b' 
j* /"(x) • (p (x) • d X = J f(x)-cp(x)-d X, 
a a* 
wo : a' a <I_b‘ und (p (x) = 0 für a' <i x^a und b < .x < b‘, wäh- 
rend f (x) in den hinzugefügten Intervallen bis auf die Monotonie-Be- 
dingung willkürlich bleibt. 
^) Vgl. Du Bois-Reymond , Zur Geschichte der trigonometrischen 
Reihen (Tübingen, [1880]), p. 58. 
1900. Sitzungsb. d. matli.-pliys. CI. 
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