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Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Juni 1900. 
frappirt nun zunächst die ausserordentlicli grosse Willkürlich- 
keit der beiden mit A, B bezeiclineten Zahlen, und es gewinnt 
wohl zunächst den Anschein, als ob dieselbe auf einer infini- 
tesimalen Eigenschaft des bestimmten Integrals beruhe, 
nämlich auf dem Umstande, dass die zu integrirende Function 
für die Stellen einer beliebigen unausgedehnten Punktmenge 
ganz willkürlich gedacht bezw. abgeändert werden daid, 
ohne dass der Integralwerth selbst eine Veränderung erleidet. 
Es erschien mir nun nicht ohne Interesse, festzustellen, da.ss 
die Willkürlichkeit in der Auswahl jener Zahlen A, B in 
Wahrheit ganz elementaren arithmetischen Ursprunges 
ist, indem nämlich auch für gewöhnliche endliche Summen 
ein Mittel werthsatz besteht, der genau die Bauart der 
Formel (III) besitzt und deren eigentliche Grundlage bildet. 
Die.ser, aus einer einfachen und sehr naheliegenden Umfor- 
mung der bekannten Abel’schen Transformationsformel (par- 
tiellen Summation) hervorgehende Mittelwerthsatz wird in § 1 
der folgenden Mittheilung zunächst abgeleitet und des näheren 
discutirt. In § 2 gebe ich dann einen darauf beruhenden Be- 
weis der Integral-Formel (UI), der mir mehr als irgend einer 
der bi.sherigen Beweise die äusserst erreichbare Allgemeinheit 
mit a'enimender Einfachheit zu verbinden scheint. Zur näheren 
o o 
Begründung dieser Ansicht werden dann noch in § 3 einige 
historische und kritische Bemerkungen über jene früheren 
Beweise hinzugefügt. 
§ 1. Die Abel’sche Transformation und die daraus 
resultirenden Mittelwerthsätze für endliche Summen. 
1. Es seien n,.. v,. (r = 1, 2, . . . w) beliebig vorgelegte 
Zahlen und 
n 
( 1 ) 
I 
Setzt man sodann : 
(2) f + • • • + ’V = U., (j- = 1, 2, . . . n). 
