A. Fringsheim: lieber den sog. zweiten Mittelwerthsatz etc. 213 
so ergiebt sich mit Hülfe der Substitution von 
v^ = Fj , Vy= Vr— Vy-: {v = 2, .. .n) 
in Gl. (1) die bekannte Abel’sche Transformations-Gleichung: 
»1—1 
(3) Sn = U’' (Uy — Uy+i) • Vy -b Un V„ . 
I 
Um derselben eine etwas allgemeinere, für die weiteren 
Schlüsse zweckmässige Gestalt zu geben, bezeichne ich mit 
zwei vollkommen willkürlich anzunehmende Zahlen, 
mit Vq die Null. Alsdann besteht die Identität: 
(d) 0 (^^0 * ^0 I n “b ^»i-i-l I »1 
und es ergiebt sich, wenn man dieselbe zu Gleichung (3) addirt: 
(A) Sfi (tty • Vy — b ^bl+l Vfi . 
0 
2. Es seien jetzt die Zahlen Wj, u.^, . . . Un reell und so 
gegeben, dass sie eine monotone (gleichgültig ob niemals 
zu- oder niemals abnehmende) Folge bilden ; und es mögen 
sodann ^^o, Un-\-\ im übrigen zwar willkürlich, jedoch so an- 
genommen werden, dass sie sich dieser monotonen Folge an- 
schliessen (welcher Bedingung u. a. stets genügt wird, wenn 
man speciell Mq=Mj, iin-\-\ = Un setzt). Ferner werde allge- 
mein durch die Symbole: 
y=m-\-p )’z=m-|-p 
Max (a,.) Min («,.) iDi («,.) 
v=m v=7i» 
das Maximum, das Minimum, ein Mi ttelwertb 
aus irgendwelchen Zahlen , a„, 4 -i , . . . p bezeichnet. 
Alsdann ergeben sich im Falle ^ 0 aus Gl. (A) 
die Ungleichungen: 
(B) 
Sn 
>(«„ — w„+i) • Min (F,.) 
v=0 
v=n 
< (?<(, — «„+,) • Max (T',.) 
-b ?öi4-i T »I 
14' 
2 . 
