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Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Juni 1900. 
und entsprechend im Falle Uy — ^ 0 die durch Ver- 
tauschung der Zeichen ^ hieraus hervorgehenden. Man erhält 
daher in jedem, dieser beiden Fälle, d. h. wenn die m,, eine 
monotone Folge bilden, den folgenden Mittelwerthsatz : 
(C) s„ = {u, - w„+i) . m ( Vy) -I- F,. 
»■=0 
= tfo • if ( Vy) + ( F„ - S"( F,,)). 
v=0 v=0 
r=»i 
Da iOi (F,.) einen mittleren Werth aus den Zahlen 
j *=0 
Fß, Fj, . . . F„ bedeutet, so muss es entweder mindestens 
ein bestimmtes m<.n geben,') sodass: 
(5) ir(F,) = F„.; 
r =0 
oder es tritt in der Reihe F^, F,, . . . F„ mindestens bei einem 
bestimmten Index m (wo: 0 < < w) der Fall ein: 
(6) F„.<ii‘(F,)< F„,+i. 
.=0 
Man kann also beide Fälle dahin zusammenfassen, dass: 
(7) ¥( T;) = F„. -F -B ( F,„+, - F,„) , wo : 0 < »9 < 1 , 
r = z 0 
d. h. mit Rücksicht auf die Beziehung: F„, 4 .i — T"«i = v„, 4 .i: 
( 8 ) 
Durch Einführung der Ausdrücke (6) in den Mittelwerth- 
satz (C) nimmt dann derselbe noch die folgende Form an: 
h Wäre m =n d. h. n der erste Index, für welchen: 
F„, 
»■=0 
so müssen Fq, F,. . . . F« — i theils unterhalb, theils oberhalb 
1' = « 
511 (TV) liegen, sodass also für ein m <C.n — 1 eine Ungleichung von der 
,'=0 
Form (6) besteht. 
