^-1 rringsheim : lieber den sog. zweiten Mittelwertlisatz etc. 215 
(D) S„ -f {}•V,n.^.]) -j" — "&)' 1^7)1+] + 
4“ 1(1 — &) Vm+1 + ij’’ 'f^y ), 
\ m+2 / 
WO also »t eine bestimmte (möglicherweise auf mehrfache Art 
wählbare) Zahl aus der Reihe 0, 1, . . . (w — 1) bedeutet und 
0^??<C1. Dabei ist noch anzumerken, dass für die beiden 
äussersten Fälle vi = 0 bezw. m = n — 1 die Beziehungen be- 
stehen : Fm = Vq= 0 bezw. V» — Fm+i = F„ — F„ = 0, sodass 
man also den in diesen Fällen bei der zweiten Schreibweise 
0 n 
auftretenden Symbolen : Xj*" v»- bezw. ^ die Bedeutung von 
1 «+i 
0 beizulegen hat. 
3. Sind die Uy nicht nur monoton, sondern auch gleich - 
bezeichnet, in welchem Falle also auch die numerischen 
Werthe der Uy eine monotone Folge bilden, so kann man, 
falls die letzteren niemals zunehmen, also: \uy 
über so verfügen, dass man u„^\ = 0 setzt; während man 
«<(, = 0 annehmen kann, wenn die \ Uy \ niemals abnehmen, 
also : My ; ^ i | . Der Mittelwerthsatz (C) liefert also in 
diesen beiden Fällen die folgenden Beziehungen: 
= Un 
1 
Vy-\- Vm+\ 
(E) 
( 1 ) Sn = u,-m{Vy) 
y=0 
(2) Ä„ = «f„+,-(F,.-iuF..)) 
v=0 
(I Wy I ^ I Wy+1 I), 
(I lly I _< I t«y+| I), 
die sich mit Hülfe von (D) auch in die folgende Form setzen 
lassen : 
(F) 
(1) Vy -F Xl • Vm+1 j ( [ ««y I ^ ' Wy+l | ) , 
(2) Sn = M„ + I ( (1 — -0) Wm+I + S’' Vy ) (I i^y I < I Ify+I |). 
\ »1+2 / 
Hierzu bemerke ich, dass man Gl. (E, 1), nicht aber 
Gl. (E, 2) auch unmittelbar, d. h. ohne den Weg über Gl. (C) 
zu nehmen, aus der Fundamental-Formel (A) herleiten kann: 
man hat dabei nur zu beachten, dass bei gleichbezeichneten u,. und 
