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Sitzung der math.-phys. Classe vorn 13. Juni 1000. 
die Terme {tiy — m„), welche wiederum stets der Bedingung 
I Uy — ?<„ I ^ «,.+i — iin I genügen, auch wenn von den Uy 
lediglich die Monotonie vorausgesetzt wird, ohne weiteres die 
mit Gl. (C') im wesentlichen gleichwerthige Beziehung erhalten: 
S„ = U, if ( Vy) + U„ ( F„ -if ( Vy)'j . 
Es besitzt also hier die unter specielleren Voraus- 
setzungen bestehende Gleichung (E') in Wahrheit einen wei- 
teren Wirkungskreis, als die unter allgemeineren Beding- 
ungen geltende Formel (C'), d. h. es besteht zwischen den 
Formeln (E') und (C') genau dasselbe Verhältniss, wie zwischen 
dem Bonnet 'sehen und dem Du Bois-Reymond 'sehen Satze 
(I) und (II). 
§ 2. Der zweite Mittelwerthsatz für bestimmte Integrale. 
1. Lehrsatz. Ist im Intervalle die Func- 
tion /‘(x) endlich und monoton, q>{x) und f{x)’Cp{x') in- 
tegrabel,^) so hat man: 
X i- i 
^ f(x) • (p (x) ' dx — i/g - j (p (x) ■ dx Y j (p (x) • dx , 
Xo iCo I 
wo I einen gewissen, der Bedingung ^ | ^ X ge- 
nügenden Werth besitzt, während yg, Y zwei der mono- 
tonen Folge der /’(a;)-Werthe bei x = Xg und x = X sich 
anschliessende, im übrigen willkürliche Zahlen be- 
deuten, sodass also entweder: 
Va ^ f{xg -F ü) > /'(x — 0) > r, 
oder: tjg<f{Xg-\-t))<f{X—t))<Y. 
1) Ich nenne 9 ? (x) im Intervalle Xq<^x^X integrabel, wenn 
X i 
nicht nur ^(p(x)dx, sondern auch ^rp(x)dx für Xq<^^ <^X existirt. 
Xq 
