A. Pringsheim: lieber den sog. ztoeiten Mittel werthsatz etc. 219 
Bezüglich der in die Voraussetzung aufgenommenen In- 
tegrabilitäts-Eigenschaften von (p (x) und f {x) • ep {x) bemerke 
ich folgendes. Die Function f (x) ist auf Grund der voraus- 
gesetzten Endlichkeit und Monotonie allemal integrabel, 
auch wenn sie im übrigen beliebig viele Unstetigkeiten be- 
sitzt.^) Ist dann (p (x) endlich und integrabel oder besitzt 
(p (x) nur solche Unendlichkeitsstellen,* *) dass nicht nur 
(p (x), sondern auch ^ (x) ' integrabel ausfällt, so ist jedes- 
mal f {x) • q> {x) eo ipso integrabel.*) Dies gilt sogar auch 
dann noch, wenn die als integrabel vorausgesetzte Function 
(p {x) eine endliche Anzahl von Unendlichkeitsstellen 
besitzt, in deren Umgebung die absolute Integrabilität nicht 
vorhanden ist.*) Nur wenn Punkte der letztgenannten Art in 
unbegrenzter Anzahl auftreten, muss ausser der Integra- 
bilität von epix) noch diei'enige von f{x)-q){x) ausdrück- 
lich in dieVoraussetzung aufgenommen werden. Schliess- 
lich sei noch hervorgehoben, dass die Aussage, eine Function 
(p{x), die in irgend einem Intervalle unendlich viele Un- 
endlichkeits-Stellen besitzt, sei daselbst integrabel, alle- 
mal die Voraussetzung involvirt, dass jene Stellen eine un aus- 
gedehnte Menge bilden: hiermit ist nämlich, meines Wissens, 
die äusserste Grenze bezeichnet, bis zu welcher der Integral- 
Begriff' überhaupt noch definirbar erscheint.*) 
*) S. z. B. Dini-Lüroth, p. 338, § 187, 6. 
*) Also z. B., wie — • sin - bei a; = 0. 
*) Dini-Lüroth, p. 346, § 190, 5; — p. 419, § 226. 
*) Ebendas, p. 422, § 227. 
*) Herr Dini (a. a. 0. p. 406, § 217) beschränkt die Definition auf 
den Fall, dass die Unendlichkeitsstellen eine Menge erster Gattung 
bilden (welche dann eo ipso auch un ausgedehnt ist — s. z.B. Dini- 
Lüroth, p. 25, § 14) und beweist auch die Gültigkeit des Mittelwerth- 
satzes für diesen Fall: Serie di Fourier etc. (Pisa, 1880), p. 22. — 
Harnack (Math. Ann. Bd. 21 [1883], p. 325; ausführlicher Bd. 24 (1884), 
p. 2i0) definirt das Integral für den Fall, dass die Unendlichkeitsstellen 
eine beliebige unausgedehnte (von ihm als „discret“ bezeichnete) 
Menge ausmachen und beweist (an der zuerst citirten Stelle) ebenfalls 
