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Sitzung der muth.-^diys. Classe com 13. Juni 1000. 
2. Beweis des Lehrsatzes. Man theile das Intervall 
{x^^, X) durch Einschaltung der Punkte x^, x.^, . . . Xn-i in n 
Theil-lntervalle, sodass also: 
X u 
(1) J=.^fXx)-(p(x)-dx='![^^ § f(x)-(p{x)-clx (wo:a:„ = X) 
^0 J I 
gesestzt werden kann. Auf jedes dieser Theil-Integrale wende 
inan die identische Umformung an: 
(2) if{xy(p{x}dx=f,{x)-if(x)-(p(x)-dx-\-§{flx)—f(x,)}-(p{xydx, 
— I — I ^v— 1 
und zwar mag hier, falls etwa f(x) an der Stelle x,, unstetig 
sein sollte, unter fy(x) der (allemal eindeutig bestimmte) Werth 
f(Xy — 0) verstanden werden: die Zahlen f(Xy) bilden dann für 
r=l,2, ...w, wegen der Monotonie von f (x), stets eine 
monotone Folge. 
Durch Einführung der Umformung (2) in die rechte Seite 
von Gl. (1) ergieht sich: 
(d) J = Jn -f- Rn 
WO : 
den Mittelwerthsatz in dem entsprechenden Umfange. Doch reichen die 
Erörterungen Harnack’s nicht aus, um die Existenz des Integrals in 
X 
dem Sinne zu gewährleisten, dass gleichzeitig mit S (p (x) • d X auch 
Xo 
das Integral über jedes Th eil -Intervall existirt (vgl. Stolz, Wiener 
Sitz. -Her. Bd. 107- [1898], p. 3; Grundzüge der Diff.- und Integr.-Rechnungi 
Bd. III, p. 277). Dies ist, wenn die Unendlichkeits-Stellen eine Menge 
zweiter Gattung bilden, dann und nur dann der Fall, wenn ausser 
<p (x) auch i (U im Harnack’schen Sinne integrabel ist (vgl. Stolz, 
a. a. 0. und Wiener Sitz. -Ber. Bd. 28* [1899], p. 1235). Für nicht absolut 
integrable <p (x) muss es daher wohl bei der Dini’schen Voraussetzung 
sein Bewenden haben, dass die Unendlichkeitsstellen höchstens eine Menge 
erster Gattung bilden (so auch bei De La Vallce-Poussin, .lourn. 
de Math. (4), T. 8 [1892], p. 4.53). 
