A. Primjsheim: Ueber den sog. ziveiten Mittelwerthsatz etc. 
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(-i) 
( 5 ) 
n 
Jn = ü,'’ f (Xy) (fix)- dx 
I 
n *>' 
lin = L*’ J { f(x)—fiXy)} -(pix)- dx. 
1 i,,_i 
Der ganze Beweis des fraglichen Satzes besteht nun in der 
Anwendung der Abel’schen Transformation bezw. der daraus 
resultirenden Mittelwertb-Iielation auf J,, und sodann in dem 
Nachweise, dass iZ,, bei hinlänglicher Vergrosserung von n 
beliebig klein wird. 
Setzt man, mit Bezugnahme auf die in § 1 benützten Be- 
zeichnungen, für V = 1, 2, ... w: 
Xy y Xy Xy 
Uv = fy{.x), = ^ cp{x)-dx, also: Vy='^'' ^ q^{x)-dx=^^ q){x)-dx 
Xy J 1 Xy _ [ Xq 
und ausserdem: ««o ~ Z/o’ = Y, so nehmen die Ungleich- 
ungen (B), welche noch die Voraussetzung f (Xy) f (Xy^:), 
also erheischen, die folgende Form an: 
( 6 ) J,. 
> (^0 — Y) • Min j* (p(x) ■ dx 
V = 0 Xq 
V=n 
< (?/„ — Y) • Max j* q^(x) • dx 
>■=0 Xo 
+ r-S,r,{x).dx. 
Dabei hätte man Y < f{Xu — 0) “ f(X — 0) und zunächst 
nur !/o^ t — 0) anzunehmen: dieser letzteren Bedingung 
wird aber (unabhängig von der Wahl des x^) a fortiori ge- 
nügt, wenn man festsetzt. 
Xy 
Zieht man jetzt statt der n Integrale J q'’(x)- dx{v = 1,2, . . . n) 
Xo 
X' 
alle m ö gl i c h e n W erthe des Integrals f (p(x)- dx für x^ <^x <.X 
Xo 
in Betracht, so bestehen offenbar die Beziehungen; 
